1、授课教师：姚志华授课教师：姚志华授课教师：姚志华授课教师：姚志华20122012年年4 4月月5 5日日 提出问题提出问题:直线的方程与方程的直线的概念是如何叙述的直线的方程与方程的直线的概念是如何叙述的?（1）以一种方程的解为坐标的点都是其对应直线上的点；）以一种方程的解为坐标的点都是其对应直线上的点；（2）直线上的点的坐标都是其对应方程的解。）直线上的点的坐标都是其对应方程的解。简言之，简言之，若若方程的解方程的解和和直线上的点直线上的点是一一对应的，则称这个方程为这条直线是一一对应的，则称这个方程为这条直线的方程，这条直线称为方程的直线。的方程，这条直线称为方程的直线。满足这样的（满足这
2、样的（1）（）（2）的方程为直线的方程，这条直线称为方程的直线。的方程为直线的方程，这条直线称为方程的直线。（1）曲线上的点的坐标都是其对应方程的解；曲线上的点的坐标都是其对应方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都是其对应曲线上的点。以方程的解为坐标的点都是其对应曲线上的点。纯正性纯正性完备性完备性（一）（一）曲线的方程与方程的曲线的概念曲线的方程与方程的曲线的概念（二）（二）坐标法的概念坐标法的概念 我们把运用坐标系来研究几何图形的办法，叫做坐标法。我们把运用坐标系来研究几何图形的办法，叫做坐标法。（三）坐标法（三）坐标法解析几何在平面上建立直角坐标系：在平面上建立直角坐标系：点点一一对应一
3、一对应坐标（坐标（x，y）曲线曲线坐标化坐标化曲线的方程曲线的方程研究研究 用坐标法来研究几何图形，也就是运用代数办法来研用坐标法来研究几何图形，也就是运用代数办法来研究几何问题，形成了数学的一种重要分支究几何问题，形成了数学的一种重要分支解析几何。解析几何。平面解析几何研究的重要问题：平面解析几何研究的重要问题：（1）运用已知条件，求出平面曲线的方程；）运用已知条件，求出平面曲线的方程；（2）通过方程研究平面曲线的性质。）通过方程研究平面曲线的性质。下面研究如何求曲线的方程。下面研究如何求曲线的方程。迪卡尔迪卡尔 例例1 设设 A、B 两点的坐标是两点的坐标是（-1，-1）、（）、（3，7）
4、，求线段），求线段 AB 的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。如何求曲线的方程如何求曲线的方程?办法办法1：运用现成的结论：运用现成的结论直线方程的知识求解。直线方程的知识求解。解解1：因为：因为 ,所以所求直线的斜率所以所求直线的斜率k=，又由于线段又由于线段ABAB的中点坐标为（的中点坐标为（1 1，3 3）因此线段因此线段ABAB垂直平分线的方程根据两点式能够求得垂直平分线的方程根据两点式能够求得x+2y-7=0 x+2y-7=0。例例1 设设 A、B 两点的坐标是两点的坐标是（-1，-1）、（）、（3，7），求线段），求线段 AB 的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。办法办法2
5、：若没有现成的结论怎么办：若没有现成的结论怎么办?需要掌需要掌握普通性的办法。握普通性的办法。问题问题1 设设 A、B 两点的坐标是两点的坐标是（-1，-1）、（）、（3，7），求线），求线段段 AB 的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。我们的目的就是要我们的目的就是要找找x与与y的关系式的关系式解解:设设M(M(x x，y y)是线段是线段ABAB的垂直平分线上的任一点的垂直平分线上的任一点,先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件则则|MA|=|MB|MA|=|MB|，（1）由上面过程可知，垂直平分线上的任一点的坐标都是方程由上面过程可知，垂直平分线上的任一点的坐标都是
6、方程的解；的解；（2）设点）设点M1（x1，y1）是方程（）是方程（*）的解，即）的解，即x1+2y1-7=0，由于上面的变形过程步步可逆，因此，由于上面的变形过程步步可逆，因此因此因此|M1A|=|M1B|M1A|=|M1B|，总而言之，所求线段总而言之，所求线段 AB 的垂直平分线的方程是的垂直平分线的方程是x+2y-7=0。第一种办法运用现成的结论固然快第一种办法运用现成的结论固然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的理但它需要你对研究的曲线要有一定的理解解;第二种办法即使有些走弯路，但这种办法有普通性。第二种办法即使有些走弯路，但这种办法有普通性。求曲线的方程能够这样普通地尝试，注意其中
7、的环节求曲线的方程能够这样普通地尝试，注意其中的环节:求曲线的方程（轨迹方程），普通有下面几个环节求曲线的方程（轨迹方程），普通有下面几个环节:1.1.建立适宜的坐标系建立适宜的坐标系,设曲线上任一点设曲线上任一点M M的坐标的坐标;2.2.写出适合条件写出适合条件P P的几何点集（限）的几何点集（限）;3.3.用坐标表达条件用坐标表达条件,列出方程（代）；列出方程（代）；4.4.化简方程为最简形式；化简方程为最简形式；5.5.证明（查漏除杂）。证明（查漏除杂）。以上过程能够概括为一句话：建设现（限）代化。以上过程能够概括为一句话：建设现（限）代化。例例2 点点 M 与两条互相垂直的直线的距离
8、的积是常数与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 k(k 0)，求点，求点 M 的轨迹方程。的轨迹方程。例例3 已知一条曲线在已知一条曲线在 x 轴上方，它上面的每一点到点轴上方，它上面的每一点到点 A(0，2)的距离减去它到的距离减去它到 x 轴的距离的差都是轴的距离的差都是 2，求这条曲线的方程。，求这条曲线的方程。例例4 已知一条直线和它上方的一种点已知一条直线和它上方的一种点F,点点F到的距离到的距离是是2，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到F的距离的距离减去到的距离的差都是减去到的距离的差都是2，建立适宜的坐标系，求这条曲，建立适宜的坐标系，求这
9、条曲线的方程。线的方程。lBFMOxy（x，y）（0，2）练习练习1 1：已知点：已知点M M与轴的距离和点与轴的距离和点M M与点与点F F（0 0，4 4）的距离相等）的距离相等,求点求点M M的轨迹的轨迹方程。方程。解：设点解：设点M M的坐标为（的坐标为（x x，y y）建立坐标系，设点的坐标建立坐标系，设点的坐标限（找几何条件）限（找几何条件）代（把条件坐标化）代（把条件坐标化）化简化简 这就是所求的点的轨迹方程。这就是所求的点的轨迹方程。如图，已知点如图，已知点C C的坐标是（的坐标是（2 2，2 2）,过点过点C C直线直线CACA与与x x轴交轴交于点于点A A，过点，过点C
10、C且与直线且与直线CACA垂直的直线垂直的直线CBCB与与y y轴交于点轴交于点B B，设点，设点M M是线是线段段ABAB的中点，求点的中点，求点M M的轨迹方程。的轨迹方程。M（x，y）OxyC（2，2）BA 例例2 2 已知直角坐标平面上点已知直角坐标平面上点Q(2,0)Q(2,0)和圆和圆O O：x2+y2=1x2+y2=1，动点，动点M M到圆到圆O O的切线长与的切线长与|MQ|MQ|的比等于常数的比等于常数（0 0），），求动点求动点M M的轨迹方程，并阐明它表达什么曲的轨迹方程，并阐明它表达什么曲线？线？0 xyMNQ 例例2 求抛物线求抛物线y=x2+（2m+1）x+m2-1
11、（mRR）的顶点的顶点 的轨的轨迹方程。迹方程。（2）写出适合条件）写出适合条件 p 的点的点 M 的集合的集合 P=Mp(M)；（1）建立适宜的直角坐标系，用有序实数对例如（）建立适宜的直角坐标系，用有序实数对例如（x，y)表达表达曲线上任意一点曲线上任意一点 M 的坐标；的坐标；（3）把曲线上的点所适合的条件）把曲线上的点所适合的条件 p（M）用坐标来表达，列用坐标来表达，列出方程出方程 f(x，y)=0；（4）把方程）把方程 f(x，y)=0 化为最简形式；化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.注：普通状况下，化简前后方程的解集是相似的，环节注：普通状况下，化简前后方程的解集是相似的，环节5能够能够省略不写，如有特殊状况，可适宜予以阐明省略不写，如有特殊状况，可适宜予以阐明.另外，根据状况，也另外，根据状况，也能够省略环节能够省略环节2，直接列出曲线的方程。，直接列出曲线的方程。
