1、2.2 平面对量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义两个实数能够相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们但愿两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提高向量的理论价值，这就需要建立有关的原理和法则.思考：探究一：向量加法的几何运算法则探究一：向量加法的几何运算法则 思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表达？由此可得什么结论？A B C思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表达？由此可得什么结论？A B C思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B变化方向到
2、点C，则两次位移的和可用哪个向量表达？由此可得什么结论？A BC思考4：上述分析表明，两个向量能够相加，并且两个向量的和还是一种向量.普通地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.上述求两个向量和的办法，称为向量加法的三角形法则.对于下列两个向量a与b，如何用三角形法则求其和向量？aCabABa思考5：求两个向量和的另外尚有一种办法，称为向量加法的平行四边形法则.对于下列两个向量a与b，如何用平行四边形法则求其和向量？aBabAaOC思考6：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量，其作图特点分别如何？三角形法则：首尾相接连端点；三角形法则：首尾相接连端点；平行四边形法则：起点相似连对角
3、平行四边形法则：起点相似连对角.思考思考1 1：零向量：零向量0 0与任一向量与任一向量a a能够相加吗能够相加吗？探究二：向量加法的代数运算性质探究二：向量加法的代数运算性质规定：规定：a0=00=0a=a，思考思考2 2：若向量若向量a与与b为相反向量，则为相反向量，则ab等于什么？反之成立吗？等于什么？反之成立吗？思考思考3 3：若向量若向量a与与b同向，则向量同向，则向量ab的的方向如何？若向量方向如何？若向量a与与b反向，则向量反向，则向量ab的方向如何？的方向如何？a与与b 为相反向量为相反向量 ab=0思考4：考察下列各图，|ab|与|a|b|的大小关系如何？|ab|与|a|b|
4、的大小关系如何？ABCabaaabaab|ab|a|b|，当且仅当，当且仅当a与与b同向时取同向时取等号；等号；|ab|a|b|，当且仅当，当且仅当a与与b反向时取反向时取等号等号.思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意a，bR，都有ab=ba.那么向量的加法也满足交换律吗？如何检查？BabaCAaO思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，cR，都有(ab)c=a(bc).那么向量的加法也满足结合律吗？如何检查？a+b+cabCcBAaO理论迁移理论迁移 例例 长江两岸之间没有大桥的地方，经常通长江两岸之间没有大桥的地方，经常通过轮渡进行运输过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江
5、如图所示，一艘船从长江南岸南岸A A点出发，以点出发，以5km/h5km/h的速度向垂直于对岸的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.2km/h.（1 1）使用向量表达江水速度、船速以及船）使用向量表达江水速度、船速以及船的实际航行的速度；的实际航行的速度；（2 2）求船实际航行速度的大小与方向）求船实际航行速度的大小与方向.ADABC小结作业小结作业1.1.向量概念源于物理，位移的合成是向量向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法则的物理模型，力的合成是加法三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的物理模型向量加法平行四边形法则的物理模型.2.2.任意多个向量能够相加，并能够按任意任意多个向量能够相加，并能够按任意次序、组合进行次序、组合进行.若平移这些向量使其首若平移这些向量使其首尾相接，则以第一种向量的起点为起点，尾相接，则以第一种向量的起点为起点，最后一种向量的终点为终点的向量，即为最后一种向量的终点为终点的向量，即为这些向量的和这些向量的和.3.3.两个向量的和的模不不不大于这两两个向量的和的模不不不大于这两个向量的模的和，这是一种不等式性个向量的模的和，这是一种不等式性质，解题中含有一定的功效作用质，解题中含有一定的功效作用
