1、2.2.1对数与对数的运算对数与对数的运算（第二学时）指数对以指数对以a为底为底N的对数的对数a b=Nb=log a N指数式指数式对数式对数式底数对底数底数对底数幂值对真数幂值对真数关系：关系：2.特殊对数：特殊对数：1）惯用对数）惯用对数 以以10为底的对数；为底的对数；lg N 2）自然对数）自然对数 以以 e 为底的对数；为底的对数；ln N3.对数指数恒等式对数指数恒等式：4.重要结论：重要结论：1）log a a =1；2）log a 1=0问题提出问题提出1.1.对数源于指数，对数与指数是如何互对数源于指数，对数与指数是如何互化的？化的？2.2.指数与对数都是一种运算，并且它们
2、指数与对数都是一种运算，并且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？那么对数运算有那些性质呢？给出四个等式给出四个等式:其中对的的是其中对的的是_1),2)43证明：证明：设设 由对数的定义能够得：由对数的定义能够得：MN=即证得即证得 对数的运算性质对数的运算性质证明证明:对数的运算性质对数的运算性质两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差语言体现语言体现:一种正数的一种正数的n次方的对数等于这个正数的对数次方的对数
3、等于这个正数的对数n倍倍如果如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：有：证明：设 由对数的定义能够得：即证得 证明证明:证明：设 由对数的定义能够得：即证得 证明证明:例1 解说范例解说范例 解（1）解（2）用 表达下列各式：例2 计算（1）（2）解说范例解说范例 解 :=5+14=19解 :对数的运算性质对数的运算性质阐明阐明:2)有时可逆向运用公式有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是真数的取值必须是(0,)4)注意注意如果如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：有：1)简易语言体现简易语言体现:”积的对数积的对数=对数的和对数的和”课堂小结课堂小结:例3计算：解说范例解说范例 解法一
4、：解法二：知识探究：知识探究：对数的换底公式对数的换底公式 思考思考2:2:你能用你能用lg2lg2和和lg3lg3表达表达log23log23吗？吗？思考思考1:1:假设假设 ，则，则 ，从而有，从而有 .进一步可得到什么结论？进一步可得到什么结论？换底公式：换底公式：例例4,1999底我国人口为底我国人口为13亿亿,人口增加的年平均增加率为人口增加的年平均增加率为1%,则则x年后，我国的人口数为年后，我国的人口数为；若问多少年后；若问多少年后我国的人口达成我国的人口达成18亿，即解方程亿，即解方程，则，则而如果计算器只能求而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？为底的对数，那该怎
5、么办？办法：进行换底，把底换成以10，或者换成以e为底或者或者例例5 205 20世纪世纪3030年代年代,里克特里克特(C.F.Richter)(C.F.Richter)制订制订了一种表明地震能量大小的尺度了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪就是使用测震仪衡量地震能量的等级衡量地震能量的等级,地震能量越大地震能量越大,测震仪统计的测震仪统计的地震曲线的振幅就越大地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震这就是我们常说的里氏震级级M,M,其计算公式为其计算公式为 M=lgA-lgA0 M=lgA-lgA0 其中，其中，A A是被测地震的最大振幅是被测地震的最大振幅,A0,A0是是“原
6、则地震原则地震”的振幅的振幅(使用原则地震振幅是为了修正测震仪距实使用原则地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差际震中的距离造成的偏差).).(1)(1)假设在一次地震中假设在一次地震中,一种距离震中一种距离震中100100千米的千米的测震仪统计的地震最大振幅是测震仪统计的地震最大振幅是20,20,此时原则地震的此时原则地震的振幅是振幅是0.001,0.001,计算这次地震的振级计算这次地震的振级(精确到精确到0.1)0.1)(2)5 (2)5级地震给人的震感已比较明显级地震给人的震感已比较明显,计算计算7.67.6级地级地震的最大振幅是震的最大振幅是5 5级地震的最大振幅的多少倍
7、级地震的最大振幅的多少倍?解解：（：（1）因此，这是一次约为里氏因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。级的地震。（2）例例6 6 生物机体内碳生物机体内碳1414的的“半衰期半衰期”为为57305730年年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳1414的残存量的残存量约占原始含量的约占原始含量的76.7%,76.7%,试推算马王堆古墓的年代试推算马王堆古墓的年代.解：设生物体死亡时，体内每克组织中的碳解：设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14含量为含量为1，1年后的残留量为年后的残留量为x，因此生物体死亡年数与每克组织中得碳，因此生物体死亡年数与每克组织中得碳14含量含量p有以下关系：有以下关系：死死亡亡年年数数t 碳碳14含量含量 P1x2x23x3.txt因此，生物死亡因此，生物死亡t年后体内的碳年后体内的碳14含量含量由计算器可得由计算器可得t2193.因此，马王堆古墓是近因此，马王堆古墓是近2200年前的遗迹年前的遗迹.
