1、2.2.22.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质(二二)第二章基本初等函数（第二章基本初等函数（）a10a0且且a1)解解：考察对数函数考察对数函数 y=log y=log 2 2x,x,xy01 15 57 7（1）log 25 与与log 27得到：得到：log 25log 27log 27log 25底数底数2 21,1,因此在因此在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,由图象观察：由图象观察：（2）log 0.35 与与 log 0.37解：考察对数函数解：考察对数函数 y=log 0.3 x,y=log 0.3 x,底数底数为为0.3,0.3,即即0 00.30.31,1,
2、因此在因此在(0,+)(0,+)上是上是减函数减函数,由图象观察：由图象观察：5 57 7yx01 1y=log 0.3 xlog 0.37log 0.35得到：得到：log 0.35log 0.37 对数函数的增减性决定于对数的底数是不不大于1还是不大于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大?（3）log a5 与与log a7 (a0 且且 a1)因此需要对底数因此需要对底数a a进行讨论进行讨论:当当0a1时时,函数函数y=log ax在在(0,+)上是减函数上是减函数,故故 log a5log a7 当当a1时时,函数函数y=log ax在在(0,+)上是增函数上是增函数,故故 lo
3、g a5log a7yx01xy012.2.当底数不拟定时当底数不拟定时,要对底数要对底数a a与与1 1的大小进行分类的大小进行分类讨论讨论.总总结结1.1.当底数相似时当底数相似时,运用对数函数的增减性比较大小运用对数函数的增减性比较大小.例例2:2:比较下列各组数中两个值的大小比较下列各组数中两个值的大小：log 7 6 log 7 7 log 6 7 log 7 6 log 3 2 log 2 0.8总总结结当底数不相似，真数也不相似时，运用当底数不相似，真数也不相似时，运用“介值法介值法”常需引入中间值常需引入中间值常需引入中间值常需引入中间值0 0 0 0或或或或1(1(1(1(多
4、个变形式多个变形式多个变形式多个变形式).).).).log 6 7 log 6 6 log 3 2 log 3 1 log 2 0.8 log 2 1=1=1=0=0例例3 3：比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：log 2 7 与与 log 5 7解解:1 log 7 5 log 7 2 0 log 2 7 log 5 7总总结结1.1.1.1.运用换底公式的运算，取倒数后转化为同底运用换底公式的运算，取倒数后转化为同底运用换底公式的运算，取倒数后转化为同底运用换底公式的运算，取倒数后转化为同底问题问题问题问题.xoy17log 5 7log 2 72.2.2.2.
5、当底数不相似，真数相似时，运用图象判断大小当底数不相似，真数相似时，运用图象判断大小当底数不相似，真数相似时，运用图象判断大小当底数不相似，真数相似时，运用图象判断大小.（一）同底数比较大小（一）同底数比较大小 1.当底数拟定时，则可由函数的当底数拟定时，则可由函数的 单调性直接进行判断；单调性直接进行判断；2.当底数不拟定时，应对底数进当底数不拟定时，应对底数进 行分类讨论。行分类讨论。（三）若底数、真数都不相似（三）若底数、真数都不相似,则常借则常借 助助1、0等中间量进行比较。等中间量进行比较。小结：小结：两个对数比较大小两个对数比较大小（二）同真数比较大小（二）同真数比较大小 1.通过
6、换底公式；通过换底公式；2.运用函数图象。运用函数图象。例例1：解方程解方程(2)32)32x+12x+1-133-133x x-10=0-10=0(1)log1)log2 2(2-x)=log(2-x)=log2 2(x-1)+1(x-1)+1X=4/3X=log35运用对数的性质，注意函数的定义域运用对数的性质，注意函数的定义域运用指数的性质换元转化为二次方程来求运用指数的性质换元转化为二次方程来求化归思想化归思想：转化为熟悉的方程来解转化为熟悉的方程来解运用函数的单调性，运用函数的单调性，结合函数的图象考虑结合函数的图象考虑先将数字用对数形式表达，再运用函数的单调性求解先将数字用对数形式
7、表达，再运用函数的单调性求解(1/2,1)1/3a1要注意数形结合要注意数形结合(1)1ab (2)0ab1(3)0b10)(1)log0.41.8 log0.42(2)log32.4 log32.7 log33.4(3)log0.62.5 log0.63 log0.60.7(4)log2n与与log2(n+1)(n0)(5)log0.2(n2+1)与与log0.2 n2 (n0)(6)loga x2与与 loga(x2+1)(x0)练习练习1.比较下列各组数中两个值的大小比较下列各组数中两个值的大小练习练习1995年我国人口总数是年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增加率亿，如果人口的自然
8、增加率控制在控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将大概等于，问哪一年我国人口总数将大概等于14亿？亿？解：解：设设 X年后人口总数超出年后人口总数超出14亿，依题意得亿，依题意得 12.(1+0.0125)X=14 即即 1.0125X=14/12，两边取惯用对数，两边取惯用对数，得：得：X.lg1.0125=lg14-lg12 即：即：X=(lg14-lg12)/lg1.012512.4答：答：12年后，即年后，即2007年我国人口总数将大概等于年我国人口总数将大概等于14亿。亿。例例6 溶液酸碱度的测量溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过溶液酸碱度是通过pH刻画的。刻画的。pH的计算公式的计
9、算公式 pH=-lgH+，其中其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。升。(1)根据对数函数性质及上述根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度的计算公式，说明溶液酸碱度 与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系?(2)已知纯净水中氢离子的浓度已知纯净水中氢离子的浓度H+=10-7为摩尔为摩尔/升，计算纯净升，计算纯净水水 的的pH值值.解：解：(1)根据对数函数的运算性质，有根据对数函数的运算性质，有 pH=-lgH+=lgH+1=lg在在(0,+)上，随着上，随着H+的增大，的增大，减小，相应地，减小，相应地，lg 也减小，即也减小，即pH减小。所以，随着减小。所以，随着H+的增大，的增大，pH减小减小,即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的碱性越即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的碱性越小。小。(2)当当H+=10-7时，时，pH=-lg10-7=7，因此，因此，纯净水的纯净水的pH是是7。
