1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第 二二 章章离离 散散 型型 随随 机机 变变 量量概率论与数理统计一一维离散型随机变量及分布列 1.定义 在样本空间 上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量 ，称作是一维（实值）离散型随机变量简称为离散型随机变量 注 要确切理解一种随机变量，首先要判断它的取值范畴以及可能取哪些值，另首先还要懂得它以多大的概率取这些值.2.2、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量及其分布列概率论与数理统计例例1 1 设盒中有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中任取3个球，求取到的白球数 的分布列。解 分布表为 0 1 2 0.1 0.6 0.3 的可能取值为0
2、，1，2概率论与数理统计 离散型随机变量 的分布列也能够写成表格的形式分布列还能够写成矩阵形式 2.分布律概率论与数理统计 离散型随机变量的分布列含有下列性质：反过来还能够证明，含有性质(1)、(2)的数列 必是某个离散型随机变量 的分布列.3分布列的性质性质 概率论与数理统计 例例2 从110这10个数字中随机取出5个数字，令 为“取出的5个数字中的最大值”试求 的分布律 从而，即可得 的分布律为解解 的取值为5，6，7，8，9，10并且概率论与数理统计例例3 设离散型随机变量 的分布律为求解解概率论与数理统计例例4设随机变量 的分布律为解解 由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有因此
3、试求常数c.概率论与数理统计4、常见的离散型分布、常见的离散型分布 设随机变量 只可能取0与1两个值,它的分布列 为（2）.两点分布两点分布（1）.退化分布退化分布若随机变量 取常数值C的概率为1,即则称 服从退化分布.则称 服从(0-1)分布或两点分布.记为 B(1,p).概率论与数理统计例例5 “抛硬币抛硬币”实验实验,观察正、反两面状况观察正、反两面状况.则随机变量 服从(0-1)分布.其分布律为 阐明阐明 两点分布是最简朴的一种分两点分布是最简朴的一种分布布,任何一种只有两种可能成果的随机任何一种只有两种可能成果的随机现象现象,例如新生婴儿是男还是女、明例如新生婴儿是男还是女、明天与否
4、下雨、种籽与否发芽等天与否下雨、种籽与否发芽等,都属都属于两点分布于两点分布.概率论与数理统计（3）.均匀分布均匀分布如果随机变量 的分布律为例例6 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 ，则有其中 则称随机变量 服从 均匀 分布.概率论与数理统计（4）.二项分布二项分布若 的分布列为则称随机变量 服从参数为n,p的二项分布。记为 ,其中q1p.注：注：二项分布两点分布概率论与数理统计例例7 在相似条件下互相独立地进行在相似条件下互相独立地进行 5 次射击次射击,每次每次射击时击中目的的概率为射击时击中目的的概率为 0.6,则击中目的的次数则击中目的的次数 服从服从 B(5,0.6)的二项分布的二
5、项分布.概率论与数理统计解解 设击中的次数为 ，则因此，例例8从而，的分布列为概率论与数理统计（5）.普哇松分布普哇松分布 若随机变量的 分布列为这种分布称作参数为 的普哇松分布普哇松分布，记作概率论与数理统计 设1000 辆车通过时出事故的次数为 ,则可运用普哇松定理从而所求概率为解解例例9 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆设每辆汽车汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天在每天的该段时间内有的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过,问出事故的次数不不问出事故的次数不不大于大于2的概率是多少的
6、概率是多少?概率论与数理统计二项分布二项分布 普哇松分普哇松分布布普哇松分布，普哇松分布，普哇松定理普哇松定理 设则且满足则对任意非负整数k，有概率论与数理统计 设1000 辆车通过时出事故的次数为 ,则可运用普哇松定理从而所求概率为解解例例10 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆设每辆汽车汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天在每天的该段时间内有的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过,问出事故的次数不不问出事故的次数不不大于大于2的概率是多少的概率是多少?概率论与数理统计普哇松分布的背景及应
7、用普哇松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从普哇松分布服从普哇松分布.概率论与数理统计电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山暴发火山暴发特大洪水特大洪水 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排在生物学、医学、工业统计、保险科学及公
8、用事业的排队等问题中队等问题中,普哇松分布是常见的普哇松分布是常见的.例如地震、火山暴发、特例如地震、火山暴发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从普哇松分布都服从普哇松分布.概率论与数理统计（6）.几何分布几何分布 若随机变量 的分布律为则称 服从几何分布.记例例11 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回对该批产品做有放回的抽样检查的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此在此之前抽到的全是正品之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目那么所抽到的产品数目 是是一种随机变量一种随机变量,求求 的分布律的
9、分布律.概率论与数理统计因此因此 服从几何分布服从几何分布.阐明阐明 几何分布可作为描述某个实验几何分布可作为描述某个实验“初次成功初次成功”的概率模型的概率模型.解解概率论与数理统计7.超几何分布超几何分布 设 的分布列为 超几何分布在有关废品率的计件检查中惯用到.阐明这里则称 服从超几何分布.概率论与数理统计5、离散型随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量 的分布列为则 的分布函数为 概率论与数理统计例例12 设 服从退化分布，即则 的分布函数为 例例13 设 服从两点分布，即求 的分布函数 F(x).解概率论与数理统计例例 14 设随机变量 的分布律为：pk-1 2
10、 3解解 当 x 1 时，满足0 x-1x求 的分布函数，当满足 x 的 取值为 =-1,x-1x概率论与数理统计当 时，满足 x 的 取值为 =-1,或 2.同理当 时，-1 0 1 2 3 x1概率论与数理统计 从一批含有从一批含有1010件正品及件正品及3 3件次品的产品中一件、件次品的产品中一件、一件地取产品一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时,所面对的各件产品被抽到所面对的各件产品被抽到的可能性相等的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下,分别求出直到获得正分别求出直到获得正品为止所需次数品为止所需次数 的分布律的分布律.(1)(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去每
11、次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在在取下一件产品取下一件产品;(2)(2)每次取出的产品都不放回这批产品中每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品品中中.备份题备份题概率论与数理统计故 的分布律为解(1)所取的可能值是概率论与数理统计 (2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故 的分布律为 所取的可能值是概率论与数理统计 (3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.故 的分布律为所取的可能值是概率论与数理统计 为了确保设备正常工作为了确保设备正常工作,需配备适量的维修工人需配备适量的维修工
12、人(工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产配备少了又要影响生产),现现有同类型设备有同类型设备300台台,各台工作是互相独立的各台工作是互相独立的,发生故障发生故障的概率都是的概率都是0.01.在普通状况下一台设备的故障可由一在普通状况下一台设备的故障可由一种人来解决种人来解决(我们也只考虑这种状况我们也只考虑这种状况),问最少需配备问最少需配备多少工人多少工人,才干确保设备发生故障但不能及时维修的才干确保设备发生故障但不能及时维修的概率不大于概率不大于0.01?合理配备维修工人问题解解 设需配备设需配备N 人，记同一时刻发生故障的设备为人，记同一时刻发生故障的设备为 ，那
13、末，所需解决的问题是拟定最小的，那末，所需解决的问题是拟定最小的N，使得，使得概率论与数理统计由普哇松定理得故有即个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8概率论与数理统计 (人寿保险问题人寿保险问题)在保险公司里在保险公司里 有有25002500个同年纪个同年纪同社会阶层的人参加了人寿保险同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人在每一年里每个人死亡的概率为死亡的概率为0.002,0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1 1月月1 1日付日付1212元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家眷可在公司里领取家眷可在公司里领取20002000元元.问问 (1)(1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少?(2)(2)保险公司获利不少于一万元的概率是多保险公司获利不少于一万元的概率是多少少?保险公司在1月1日的收入是 250012=30000元，解 设 表达这一年内的死亡人数,则概率论与数理统计 保险公司这一年里付出2000 元.假定2000 30000,即 15人时公司亏本.于是,P公司亏本=P 15=1P 14由泊松定理得P公司亏本(2)获利不少于一万元,即 30000 2000 10000，即 10.P获利不少于一万元=P 10.
