1、2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明反证法反证法教学目的：教学目的：1.1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本办法题的基本办法.2.2.培养学生用反证法简朴推理的技能，从而培养学生用反证法简朴推理的技能，从而发展学生的思维能力发展学生的思维能力.教学重点：教学重点：反证法证题的环节反证法证题的环节.教学难点：教学难点：理解反证法的推理根据及办法理解反证法的推理根据及办法.复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综正当和分析法综正当和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果
2、由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种办法如何运用？、在实际解题时，两种办法如何运用？普通用分析法谋求思路，再由综正当书写过程普通用分析法谋求思路，再由综正当书写过程综正当综正当已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件（1 1）如果有）如果有5 5只鸽子飞进两只鸽笼，最少有只鸽子飞进两只鸽笼，最少有3 3只只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2 2）A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C 说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析:假设
3、假设C C没有撒谎没有撒谎,则则A A、B B都撒谎都撒谎.由由A A撒谎撒谎,知知B B没有没有撒谎撒谎.那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立,则则C C必然是在撒谎必然是在撒谎.这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾.思考？思考？把这种不是直接从原命题的条件逐步把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明办法称为间接证明推得命题成立的证明办法称为间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法 普通地，假设原命题不成立（即在原命题的条件普通地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立），通过对的的推理，通过对的的推理，最后得出矛盾。最后
4、得出矛盾。因此阐明假设错误，从而证明了原命题成立，因此阐明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的这样的证明办法叫做反证法。证明办法叫做反证法。理论理论反证法的证明过程：反证法的证明过程：否认结论否认结论推出矛盾推出矛盾必定结论，必定结论，即分三个环节：反设即分三个环节：反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾成果，断定反设不成立，从而由矛盾成果，断定反设不成立，从而 必定原结论成立。必定原结论成立。归谬归谬从假设出发，通过一系列对的的推理，从假设出发，通过一系列对的的推理，得出矛盾；得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表达为：用反证法证明命题的过
5、程用框图表达为：必定条件必定条件否认结论否认结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立例例1 1：已知：一种整数的平方能被：已知：一种整数的平方能被2 2整除，整除，求证：这个数是偶数。求证：这个数是偶数。证明：假设证明：假设a a不是偶数，不是偶数，则则a a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数)a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2 a2是奇数，与已知矛盾。是奇数，与已知矛盾。假设不成立，因此假设不成立，因此a a是偶数。是偶数。注：直接证明难
6、下列手的命题，变化其注：直接证明难下列手的命题，变化其思维方向，从进行背面思考，问题可能思维方向，从进行背面思考，问题可能解决得十分干脆。解决得十分干脆。例题例题例例2 2：不可能成等差数列不可能成等差数列注：否认型命题注：否认型命题(命题的结论是命题的结论是“不可能不可能”，“不能表达为不能表达为”，“不是不是”，“不不存在存在”，“不等于不等于”，“不含有某不含有某种性质种性质”等等)惯用反证法惯用反证法解题反思：解题反思：证明本题时，你是怎么想到反证法的？证明本题时，你是怎么想到反证法的？反证法中归谬是核心环节，本题中得到的逻辑矛盾是什么？反证法中归谬是核心环节，本题中得到的逻辑矛盾是什
7、么？练习：练习：例例3 3 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一种根。一种根。证：由于证：由于a 0a 0，因此方程最少有一种根，因此方程最少有一种根x=b/ax=b/a，注注:结论中的有且只有结论中的有且只有(有且仅有有且仅有)形式出现形式出现,是唯一性问题是唯一性问题,惯用反证法惯用反证法 如果方程不只一种根，不妨设如果方程不只一种根，不妨设x1,x2 x1,x2（x1 x2)x1 x2)是方程的两个根是方程的两个根.例例4 4：已知：已知x0,y0 x0,y0，x+y2x+y2，求证：求证：中最少有一种不中最少有一种不大于大于2 2。分析：所谓
8、最少有一种分析：所谓最少有一种,就是不可能没有就是不可能没有,要证要证“最少有一种最少有一种”只要证明它的背面只要证明它的背面“两个都两个都”不成立刻可不成立刻可.注注:“最少最少”、“至多至多”型命题惯用反证法型命题惯用反证法 归纳总结：归纳总结：三个环节：反设三个环节：反设归谬归谬存真存真归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立），经过正确的推理，经过正
9、确的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法。（1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!归纳总结：归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反证法是数学家最精当的武器之一”（3）唯一性命题）唯一性命题（2）否认性命题）否认性命题（4）至多，最少型命题）至多，最少型命题唐吉诃德悖论 小说唐吉诃德里描写过一种国家它有一条奇怪的法律：每一种旅游者都要回答一种问题。问，你来这里做什么
10、？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。一天，有个旅游者回答旅游者：我来这里是要被绞死。这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应当绞死他。为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了很久，国王才说国王：不管我做出什么决定，都必定要破坏这条法律。我们还是宽敞为怀算了，让这个人自由吧。趣味趣味数学数学推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综正当综正当 反证法反证法课堂小结课堂小结反证法证题的环节共分三步：
11、反证法证题的环节共分三步：（1 1）假设命题的结论不成立，即假设结论的背面）假设命题的结论不成立，即假设结论的背面成立；成立；（2 2）从假设出发，通过推理，得出矛盾；）从假设出发，通过推理，得出矛盾；（3 3）由矛盾鉴定假设不对的，从而必定命题的结）由矛盾鉴定假设不对的，从而必定命题的结论对的论对的.1 1 用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么注：直接证明难下列手的命题，变化其注：直接证明难下列手的命题，变化其思维方向，从结论入手进行背面思考，思维方向，从结论入手进行背面思考，问题可能解决得十分干脆。问题可能解决得十分干脆。课堂练习课堂练习2 求证：求证：是无理数。是无理数。课后作业：课后作业：必做题：课本必做题：课本67页练习页练习A：1、2选做题：练习选做题：练习B:2
