1、复习回想复习回想 教学目的 一、理解平面对量的数量积定义一、理解平面对量的数量积定义 二、熟记并灵活运用平面对量的数量积公式（重二、熟记并灵活运用平面对量的数量积公式（重点）点）三、熟悉数量积的性质（难点）三、熟悉数量积的性质（难点）8.4.1 平面对量数量积的物理背景及其含义8.4.2 平面对量数量积的坐标表达、模、夹角 普通地，实数普通地，实数普通地，实数普通地，实数 与向量与向量与向量与向量a a 的积是一种向的积是一种向的积是一种向的积是一种向量，记作量，记作量，记作量，记作aa，它的长度和方向规定以下：，它的长度和方向规定以下：，它的长度和方向规定以下：，它的长度和方向规定以下：(1
2、)|a|=|a|(1)|a|=|a|(2)(2)当当当当00时时时时,a,a 的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向相似；方向相似；方向相似；方向相似；当当当当00时时时时,a,a 的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当=0或或a=0时时,a=0 设设a,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：，则有：(a)=()a (+)a=a+a (a+b)=a+b已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OA
3、B当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一种物体在力我们学过功的概念，即一种物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a|b|cos规定
4、规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。|a|cos（|b|cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向注意：向量的数量量的数量积是一种积是一种数量。数量。向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ab=|a|b|cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当=90时时ab为零。为零。设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OAB abB1解：解：a
5、b=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10例例2 2 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求abab。例例3 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45 =2OAB|b|cos abB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。O投影投影OO练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b
6、=04 4若若a b=0a b=0，则，则a ba b中最少有一种为中最少有一种为0 05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有二、平面对量的数量积的运算律：二、平面对量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注：例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例例4例例4 通过本节课的学习：通过本节课的学习：要熟记平面对量的数量积公式（难点）要熟记平面对量的数量积公式（难点）会运用平面对量的数量积公式求值（重点）会运用平面对量的数量积公式求值（重点）回想总结回想总结
