1、2.4 等比数列等比数列1.某种细胞分裂个数可构成数列：某种细胞分裂个数可构成数列：2.“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”：3.存入银行存入银行a万元，年利率是万元，年利率是1.98%，按复利计算，按复利计算，5年内各年末得到的本利和分别是：年内各年末得到的本利和分别是：1，2，4，8，存款利率：本利和存款利率：本利和=本金本金(1+利率利率)存期存期(利滚利利滚利)a 1.0198,a 1.01982,a 1.01983,a 1.01984,a 1.01985.你能仿照你能仿照“等差数列等差数列”的定义，给等比数列下定义吗？的定义，给等比数列下定义吗？是等差数列吗？
2、是等差数列吗？观察下列各组数列：观察下列各组数列：定义定义 一种数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比一种数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一种常数，这个数列叫做等比数列。等于同一种常数，这个数列叫做等比数列。公比公比(q)用数学符号表达定义：用数学符号表达定义：(n N*,n 2)an=q an-1 (n 2)变形变形(n N*)anan-1=qan+1an=q 等比数列中，等比数列中，q、an 都不能为都不能为0！思考思考 与否存在既是等比数列又是等差数列的数列？与否存在既是等比数列又是等差数列的数列？a：a,a,a,a,(a 0)q=1,d=0练习练习 判断下列数列是否为等
3、比数列：判断下列数列是否为等比数列：(1)(2)(3)-2,-2,-2,-2,-2,(4)1,-1,1,-1,1,-1,(5)1,2,1,2,1,2,(6)0,1,2,4,8,16,q=1q=-1通项公式通项公式 你能根据等差数列通项公式的推导办法你能根据等差数列通项公式的推导办法(叠加法叠加法)类比地推出等比数列的通项公式吗？类比地推出等比数列的通项公式吗？数列数列 a1,a2,a3,an,是等比数列，公比为是等比数列，公比为q，an=a1 qn-1(注意：构造、字母含义注意：构造、字母含义)an=a1+(n-1)d等比数列：等比数列：等差数列：等差数列：积积和和乘乘乘方乘方猜想：猜想：例例
4、1.在等比数列在等比数列an中，中，(1)已知已知 a1=3，q=-2，求求 a4；(2)已知已知 a3=3，a6=81，求，求 an.1 抓住基本量；抓住基本量；2 等比数列中等比数列中“相除相除”是一种惯用技巧是一种惯用技巧.2.当当a1,q为常数时为常数时,an是是 n 的什么函数的什么函数?其图象是什么其图象是什么?思考题思考题 1.对于等差数列：对于等差数列：an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d你能得到等比数列的什么结论？请证明你能得到等比数列的什么结论？请证明.an=a1 qn-1an=am qn-m类类 比比1.已知数列已知数列an中中,a1=2,则其通项公式为则其
5、通项公式为_.2.已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为问：问：an是等比数列吗？是等比数列吗？练习练习例例2.求各组数的等差、等比中项：求各组数的等差、等比中项：(1)1,2 (3)sin30,cos30 (2)1,1 (4)3+2,3-2a,b 成等差数列成等差数列A，A叫叫a与与b的等差中项的等差中项a,b 成等比数列成等比数列G，G叫叫a与与b的等比中项的等比中项练习练习 在在243和和3中间插入中间插入3个数个数,使之成等比数列使之成等比数列.注意：注意：ab同号；同号；等比中项有等比中项有2个个.例例3.某种放射性物质不停变化为其它物质，每通过一年某种放射性物质不停变化为其它
6、物质，每通过一年 剩留的这种物质是原来的剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期，这种物质的半衰期 为几年？为几年？解：设这种物质最初的质量为解：设这种物质最初的质量为a，每年的剩留量构成数列每年的剩留量构成数列an,则则 an=an-1 0.84(n 2)an为等比数列，其中为等比数列，其中 q=0.84,a1=a 0.84由由 a 0.84n=，得，得则则 an=a 0.84 0.84n-1=a 0.84n练习练习3.a1,a2,a3,an,是等比数列，公差为是等比数列，公差为q，则下列数列与否为等比数列？公比则下列数列与否为等比数列？公比q为多少？为多少？(2)a1,a3,a5,a
7、7,(3)a9,a10,a11,a12,(4)ka1,ka2,ka3,kan,(k 0)(1)-a1,-a2,-a3,-an,q=qq=q2q=qq=qq=q2思考思考 an,bn是等比数列，是等比数列，an+bn,an bn等比吗等比吗?例例4.已知已知an,bn是等比数列，仿照下表中的例子填空：是等比数列，仿照下表中的例子填空：从中你能得出什么结论？并请证明你的结论从中你能得出什么结论？并请证明你的结论.anbnanbnanbn是否等比数列是否等比数列例例自选自选-5 2n-1是是结论结论 若数列若数列an,bn是等比数列，则是等比数列，则anbn、等比等比.特别地，特别地，c是不为是不为
8、0的常数，则的常数，则an2、can、等比等比.例例5.(1)在等比数列在等比数列an中，是否有中，是否有？其逆命题成立吗？其逆命题成立吗？an是等比数列是等比数列等差数列的性质等差数列的性质 若若 ，则，则an是等差数列是等差数列,；反之也对；反之也对.(等差数列中任意一项是前后两项的等差中项等差数列中任意一项是前后两项的等差中项)(2)在数列在数列an中，若对任意的正整数中，若对任意的正整数n(n 2)，都有都有 ，那数列，那数列an一定是等比数列吗？一定是等比数列吗？(等比数列中任意一项是前后两项的等比中项等比数列中任意一项是前后两项的等比中项)an=0?等差数列等差数列an中中,p+q
9、=m+n,则：则：ap+aq=am+an例例6.(1)等比数列等比数列an中中,p+q=m+n,求证：求证：ap aq=am an(类比类比)(2)等比数列等比数列an中中,a9a10a11a12=64,则则 a8 a13=_.(3)等比数列等比数列an中中,a4=2,a7=4,则则 a10=_.(4)等比数列等比数列an中中,a10,a2a4+2a3a5+a4a6=25，则则 a3+a5=_.小结小结 等比数列等比数列an:Sn=a1 +a2 +an S2n-Sn=an+1 +an+2 +a2n S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a3n成成等比数列等比数列练习练习 等比数列的前等比数列
10、的前m项和为项和为30，前，前2m项为项为90，则它的前则它的前3m项和为项和为_.例例7.在等比数列在等比数列an中中,若若 a1+a2+a3=21,a4+a5+a6=168,则则 a7+a8+a9 =_.例例8.等差数列等差数列an中中,d 0,又又a1,a3,a9依次成依次成等比数列等比数列,(1)求该等比数列的公比求该等比数列的公比.(2)求求 的值的值.1.等差数列等差数列an:a1=1,d 0,第第1,2,5项构成等比数列，项构成等比数列，则则 d=_,q=_.2.若互不相等的实数若互不相等的实数a,b,c依次成等差数列，依次成等差数列，c,a,b依次成等比数列，则依次成等比数列，
11、则 a:b:c=_.3.若数列若数列 2nlgb 既是等差数列既是等差数列,又是等比数列，又是等比数列，则则 b=_.例例9.an=a1 qn-1 (a1 0,q 0)lgan=lga1+(n-1)lgq，这阐明什么？这阐明什么？若若 an(an0)为等比数列，为等比数列，则则 lgan 为等差数列，公差为为等差数列，公差为 lgq.例例10.等比数列等比数列an,a1=8,令令 bn=log2an,若若bn的前的前7项之和最大项之和最大,且且 S7 S8,求数列求数列an的公比的公比 q 的取值范畴。的取值范畴。12.三个数成等比三个数成等比，其积为其积为125，和为，和为31，求此三个数，求此三个数.三个数成等比且知其积，可设三个数为三个数成等比且知其积，可设三个数为13.四个正数成等比四个正数成等比，其积为其积为16，中间两数之和为，中间两数之和为5，求此四个数。求此四个数。11.在在1与与11之间插入之间插入10个正数，使之成等比数列，个正数，使之成等比数列，则插入的则插入的10个数的积为个数的积为_.
