1、计算机控制系统数学模型A1、Z变换A2、脉冲传递函数A3、闭环系统脉冲传递函数A4、采样系统动态分析A5、采样系统稳定性A6、采样控制系统稳态分析计算机控制系统数学模型介绍第1页A1z变换1 z变换变换 2 z变换性质变换性质 3 z反变换反变换 4 用用z变换解线性差分方程变换解线性差分方程计算机控制系统数学模型介绍第2页1 z变换变换Z变换变换是用来分析和综合是用来分析和综合离散时间离散时间系统一个数学工具。系统一个数学工具。它在离散系统中作用与拉氏变换在连续系统中作用是类它在离散系统中作用与拉氏变换在连续系统中作用是类似。似。对序列对序列f(kT)，能够定义它，能够定义它z变换为变换为在
2、复平面上一个适当区域内，能够确保以上级数是收在复平面上一个适当区域内，能够确保以上级数是收敛。这么，敛。这么，F(z)与与f(kT)就组成了一变换对。就组成了一变换对。计算机控制系统数学模型介绍第3页采样函数e*（t）实质就是一个序列。其拉氏变换为：而为s超越函数，不是有理函数。故令，则计算机控制系统数学模型介绍第4页在z变换定义中，T是采样周期，若取T=1，则z变换还含有以下简单形式 能够用很多方法得到采样函数或序列z变换，其中最惯用是直接依据定义求依据定义求z变换级数求和法变换级数求和法。下面介绍几类经典函数z变换。计算机控制系统数学模型介绍第5页单位阶跃函数f(t)=1(t)采样函数故有
3、例例1 单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)z变换。变换。计算机控制系统数学模型介绍第6页单位斜坡函数f(t)=t所对应序列为f(kT)=kTk=0,1,2,所以，有例例2 2 单位斜坡函数单位斜坡函数z z变换。变换。计算机控制系统数学模型介绍第7页例例3 3 指数函数指数函数z z变换变换指数函数f(t)=e-at对应序列f(kT)=e-akTk=0,1,2,所以计算机控制系统数学模型介绍第8页2 z变换性质变换性质 和拉氏变换一样，z变换也有不少主要性质，利用这些性质能够演算或直接分析离散时间系统。一、线性性质一、线性性质对任何常数和，若证实：计算机控制系统数学模型介绍第9页二、延迟定理（右
4、移定理）二、延迟定理（右移定理）若证实：延迟定理应用前提是f(t)必须满足:f(t)=0 t0 若上式不满足，则必须考虑这些不为零值，对延迟定理结论进行修正 计算机控制系统数学模型介绍第10页三、超前定理（左移定理）三、超前定理（左移定理）若尤其地，若全部初始条件所以，z也能够看成是超前一个采样周期超前因子。z变换超前定理，能够用来解描述离散系统差分方程 计算机控制系统数学模型介绍第11页证实：令m=k+n，则计算机控制系统数学模型介绍第12页四、初值定理四、初值定理若证实：由z变换定义有计算机控制系统数学模型介绍第13页五、终值定理五、终值定理若单位圆上面或外面没有极点，则 利用终值定理能够
5、很方便地由F(z)来确定f(kT)当k时终值。它是离散系统稳态分析一个主要工具。计算机控制系统数学模型介绍第14页例例4已知因为极点为0.2，它位于单位圆内，所以有计算机控制系统数学模型介绍第15页六、复位移定理六、复位移定理若证实：例例5 求 由例2，有由复位移定理计算机控制系统数学模型介绍第16页七、偏微分定理七、偏微分定理若，其中a是一个独立变量或常数，则有证实例例6求z变换。查表知因为由偏微分定理，得计算机控制系统数学模型介绍第17页3 z反变换反变换Z变换在离散系统分析与综合中所起作用与拉氏变换在连续系统中所起作用几乎完全一致。z反变换即怎样由象函数F(z)求得序列f(kt)或采样函
6、数f*(t)。不一样f(t)能够有相同采样函数f*(t)，从而能够有相同z变换F(z)。所以，F(z)不可能与f(t)有一一对应关系。由F(z)求得f(kT)或f*(t)z反变换主要三种方法，即长除法、部分分式展开法和留数计算法。计算机控制系统数学模型介绍第18页一、长除法一、长除法采取长除法，能够将F(z)展开成z-1无穷幂级数形式。对照z变换意义，即可马上得到序列f(kT)。例例7 设F(z)=将F(z)写成z-1表示形式计算机控制系统数学模型介绍第19页所以 故或例例8 试求反变换。计算机控制系统数学模型介绍第20页先将F(z)写成z-1表示形式所以由以上可知，用长除法求z反变换十分直观
7、，而且便于用计算机求解，而其次虽然长除法给出了序列f(0),f(T),f(2T),值，但由之要得到如例7所示f(kT)通项表达式却往往较为困难。为此可采用部分分式展开法。计算机控制系统数学模型介绍第21页二、部分分式展开法二、部分分式展开法通常F(z)是有理函数，它是两个多项式之比。与拉氏反变换部分分式展开法类似，能够将展开成一系列部分分式之和，然后利用查表法分别求各项z反变换，依据z变换线性性质，即可得出f(kT)或f*(t)。设则可设计算机控制系统数学模型介绍第22页其中a1,a2,a3,an为待定系数，将上述方程两边同乘以（z-pi）,并令z=pi,使得方程右边除ai以外各项为零，即可求
8、得例例9求反变换。设计算机控制系统数学模型介绍第23页所以有查表知因为 0.5=e-aT 即 所以本题结果也可写成采样函数形式 计算机控制系统数学模型介绍第24页例例10多重极点情况，求反变换。F(z)有三个极点，,其中1为二重极点设能够求得即 故 或 计算机控制系统数学模型介绍第25页4 用用z变换解线性差分方程变换解线性差分方程差分方程是描述离散时间系统必不可少数学工具。差分方程与微分方程二者之间主要区分在于微分方程描述连续时间函数之间关系，而差分方程则描述离散时间函数或序列之间关系。线性常系数差分方程普通形式为其中，上式差分方程称为n阶线性常系数差分方程。N称为阶次。均为常数。计算机控制
9、系统数学模型介绍第26页能够利用z变换来解差分方程。对上式两边取z变换，并利用z变换超前定理，有其中，y(m),m=0,1,n-1和u(m),m=0,1,n-1为初始条件。将上式左边全部关于y(m)zn-m项合并为 (z),将右边全部关于u(m)zn-m项合并为(z),则上式可重写为计算机控制系统数学模型介绍第27页设u(k)为已知输入离散函数，则U(z)已知，并设全部初始条件均为已知，即(z),(z)，由上式即可解出y(k)z变换Y(z)求Y(z)反变换即可得序列y(k)，它是原差分方程解。例例11 已知线性差分方程为 其中，计算机控制系统数学模型介绍第28页查表得，对以上差分方程取z变换得
10、代入已知条件可得解得 即 k=0,1,2,计算机控制系统数学模型介绍第29页计算机控制系统数学描述计算机控制系统数学描述 计算机控制系统通常是由计算机实现数字控制器和属计算机控制系统通常是由计算机实现数字控制器和属于连续系统范围被控对象所组成于连续系统范围被控对象所组成“混合混合”系统。为了能建系统。为了能建立该系统数学模型，通常采取两种方法。立该系统数学模型，通常采取两种方法。一个是一个是将连续被控对象离散化将连续被控对象离散化，得到它所等效离散系，得到它所等效离散系统模型，然后在离散系统范围内分析整个闭环系统。统模型，然后在离散系统范围内分析整个闭环系统。另一个方法是另一个方法是将数字控制
11、器等效为一个连续步骤将数字控制器等效为一个连续步骤，然，然后采取连续系统方法来分析与设计整个控制系统。后采取连续系统方法来分析与设计整个控制系统。普通来说，采取前一个方法较为普遍。普通来说，采取前一个方法较为普遍。计算机控制系统数学模型介绍第30页A2 脉冲传递函数脉冲传递函数对于采样控制系统来说，它脉冲传递函数形式与连续系统完全类似，设系统输入采样信号为r*(t)，它z变换为R(z)。而系统输出采样信号为y*(t),它z变换为Y(z),如图所表示，则系统脉冲传递函数为 计算机控制系统数学模型介绍第31页即脉冲传递函数定义为，在初始条件为零前提下，系统输出信号z变换与系统输入信号z变换之比。已
12、知系统脉冲传递函数G(z)以后，系统输入输出间关系即可简单表示为 能够证实，上图所表示系统脉冲传递函数G(z)等于连续系统G(s)脉冲响应函数g(t)采样函数z变换。脉冲传递函数G(z)能够经过下式计算得到。计算机控制系统数学模型介绍第32页(1)先用部分分式法将G(s)展开成每一项都能从z变换表中查到部分分式，得到各分项z变换，再求和。(2)先求出,然后得。求求G(z)=ZG(s)方法方法例1 设在上图所表示系统中，试求系统脉冲传递函数G(z)。计算机控制系统数学模型介绍第33页注意注意:(1)G(s)是连续系统传递函数，而G(z)则是表示G(S)与采样开关二者组合体脉冲传递函数,G(z)包
13、含了采样开关性质。(2)G(z)与G(s)即使都使用同一字母G，但G(z)决不是把G(s)中S换成z得来，它们之间满足关系式(3)在系统输入端有采样开关,而在系统输出端有没有采样开关都不影响系统脉冲传递函数G(z)。计算机控制系统数学模型介绍第34页对中间不带采样开关两个连续步骤串联情况，能够先求得等效步骤则可化成上图情况,这时有其中，G1G2(z)是ZG1(s)G2(s)简化记法。计算机控制系统数学模型介绍第35页例例2 2 设在上图中试求系统脉冲传递函数G1G2(z)。计算机控制系统数学模型介绍第36页在上图串联步骤之间有一个同时周期采样开关，第一个步骤输出C1(s)经采样后得采样信号C1
14、*(s)作为G2(s)输入。也就是说两个串联步骤输入信号都是离散脉冲序列，所以有其中，G(z)=G2(z)G1(z)为串联步骤开环脉冲传递函数。计算机控制系统数学模型介绍第37页例3设在图所表示系统中，试求整个串联步骤开环脉冲传递函数G(z)。在图中G1(z)和G2(z)分别为 比较例2和3结果，可见在串联步骤之间有没有同时采样在串联步骤之间有没有同时采样器，其脉冲传递函数是不一样器，其脉冲传递函数是不一样。计算机控制系统数学模型介绍第38页普遍结论：普遍结论：(1)n个步骤串联组成系统，若各串联步骤之间有同时采样器，总脉冲传递函数等于各个串联步骤脉冲传递函数之积，即(2)假如在串联步骤之间没
15、有采样器，需要将这些串联 步骤看成一个整体，求出其传递函数,然后再依据G(s)求G(z)。普通表示成计算机控制系统数学模型介绍第39页A3 闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数误差通道：反馈通道：输出通道：计算机控制系统数学模型介绍第40页依据z变换线性性质有上式表示采样信号e*(t)作为H(s)和G(s)串联输入，有消去E(z)和B（z），可得到即为上图所表示闭环系统脉冲传递函数。计算机控制系统数学模型介绍第41页1、控制算法、控制算法D(z)控制算控制算法是计算机控制系统关键部分。它依据系统误差，算出控制量u*(t),以使系统沿着降低误差方向运动。控制算法通常是以差分方程形式表示,其普
16、通形式为:计算机控制系统数学模型介绍第42页两边取z变换可得所以，控制算法部分脉冲传递函数D(z)为计算机控制系统数学模型介绍第43页2、广义对象脉冲传递函数、广义对象脉冲传递函数所谓广义对象通常是指保持器步骤和被控对象步骤串联后所组成连续时间系统。本系统中保持器为零阶保持器，。所以广义对象传递函数为:因为广义对象输入为采样信号，可求得它脉冲传递函数为计算机控制系统数学模型介绍第44页所以，若设则有 综合以上分析可得 例例4 4 设被控对象传递函数而且采取零阶保持器，求广义对象脉冲传递函数G(z)。计算机控制系统数学模型介绍第45页计算机控制系统数学模型介绍第46页3、整个系统闭环脉冲传函数、
17、整个系统闭环脉冲传函数类似前面分析方法能够写出整个系统闭环脉冲传递函数控制器：误 差：系统输出：即得 由之得出闭环系统脉冲传递函数计算机控制系统数学模型介绍第47页A4 采样系统动态分析采样系统动态分析采样系统脉冲传递函数普通形式为对上式分子和分母多项式进行因式分解可得其中，Z1，Zm称为系统零点，P1，P2，Pn称为系统极点。利用部分分式法，可将G（z）展开成计算机控制系统数学模型介绍第48页由此可见，采样系统时间响应是它各个极点时间响应线性叠加线性叠加。假如了解了位于任意位置一个极点所对应时间响应，则整个系统时间响应也就轻易处理了。与连续系统类似，采样系统零点和极点在z平面上分布对系统瞬态
18、响瞬态响应应起着决定性作用。尤其是系统极点不但决定了系统稳定性稳定性,还决定了系统响应速度系统响应速度。在采样系统中，单位脉冲函数：显然，对于单位脉冲函数，它z变换。在单位函数作用下，系统动态过程，称为系统单位脉冲响应系统单位脉冲响应。计算机控制系统数学模型介绍第49页设系统输入为R(z)，输出为C(z)，系统脉冲传递函数为G(z)。因为在单位脉冲作为输入时，有R(z)=1。这时系统输出C(z)=G(z)R(z)=G(z)所以，若记系统单位脉冲响应序列为h(k),则有即系统脉冲传递函数G(z)z反变换即为系统单位脉冲响应函数。1、实轴上单极点所对应脉冲响应、实轴上单极点所对应脉冲响应 设系统有
19、一个位于Pi单极点，则系统脉冲传函部分分式中必存在有一项，在单位脉冲作用下，对应于这一项输出序列为计算机控制系统数学模型介绍第50页当Pi位于z平面不一样位置时，所对应脉冲响应序列如图,h(k)为发散序列。,h(k)h(k)为等幅脉冲序列。，h(k)h(k)为单调衰减脉冲序列，且 越靠近0,衰减愈快。时，h(k)为交替变号衰减脉冲序列。，h(k)h(k)为交替变号等幅脉冲序列。，h(k)h(k)是交替变号发散脉冲序列。计算机控制系统数学模型介绍第51页计算机控制系统数学模型介绍第52页2、一对共轭复数极点对应脉冲响应、一对共轭复数极点对应脉冲响应设系统有一对位于共轭复数极点，则系统脉冲传递函数
20、部分式中必定有一项其中Bi和Ci是由Ai,和a,b等计算所得到系数。上式z变换为其中，等确定。当a,b位于z平面不一样位置时所对应单位脉冲响应由下列图给出。计算机控制系统数学模型介绍第53页计算机控制系统数学模型介绍第54页令为复数极点模，它表示极点到原点之间距离。当，h(k)为发散振荡序列。当，h(k)为等幅振荡序列。当，h(k)为衰减振荡序列，且r越小，衰减越快。计算机控制系统数学模型介绍第55页结论结论采样系统脉冲传递函数极点在z平面上位置，决定了系统动态响应速度。其中极点模决定了系统脉冲响应序列是发散还是衰减，决定了系统稳定性。(1)假如系统全部极点模都小于1，或者说系统全部极点都位于
21、z平面上以原点为圆心，以1为半径单位圆内，则各项都对应着衰减脉冲响应序列，伴随，各项都趋向于零。所以，系统是渐近稳定。(2)反之，若系统中有模大于1极点，则当时，即使其它项都趋向于零，不过因为对应于模大于1极点那项时间响应趋向于无穷大，造成系统单位脉冲响应也趋向于无穷大，所以系统为不稳定。计算机控制系统数学模型介绍第56页A5 采样系统稳定性采样系统稳定性闭环系统脉冲传递函数分母多项式称为系统特征多项系统特征多项式式方程A(z)=0称为特征方程特征方程特征方程n个根称为系统极点极点或称为系统特征根特征根。计算机控制系统数学模型介绍第57页依据上一节关于极点位置与系统动态响应关系和稳定性分析可知
22、:上式线性定常系统为渐近稳定充要条件是系统特系统特征方程全部根（系统脉冲传函数全部极点）都位于征方程全部根（系统脉冲传函数全部极点）都位于z平面平面单位圆内。单位圆内。在连续系统分析中，采取在连续系统分析中，采取劳斯判据劳斯判据能够在不求解特征方程能够在不求解特征方程前提下，判定特征方程根是否在复平面前提下，判定特征方程根是否在复平面s平面左半平面。平面左半平面。在在采样系统中无法用此判据直接判定特征根模是否小于采样系统中无法用此判据直接判定特征根模是否小于1。计算机控制系统数学模型介绍第58页为了能利用劳斯判据，能够采取变换,把z平面上单位圆变成平面上虚轴,把单位圆外部变成右半平面，把单位圆
23、内部变成左半平面，如图所表示。这么就能够经过劳斯判据判定平面上位于右半平面特征根个数来间接判定采样系统稳定性。变换是一双线性变换，令或即组成变换。为证实变换能满足上图所表示对应关系，设 计算机控制系统数学模型介绍第59页计算机控制系统数学模型介绍第60页平面上单位圆外部对应 平面右半平面。平面上单位圆对应平面虚轴。平面上单位圆外部对应 平面左半平面。例例5 设采样控制系统特征方程为：进行变换得计算机控制系统数学模型介绍第61页作劳斯阵列右半平面有两个根，依据劳斯判据所以F(z)在单位圆外有两个根，所以该采样控制系统不稳定。计算机控制系统数学模型介绍第62页例例6讨论下列图所表示系统，试求为确保
24、系统闭环稳定，放大倍数讨论下列图所表示系统，试求为确保系统闭环稳定，放大倍数K取值范围。取值范围。该系统广义对象计算机控制系统数学模型介绍第63页可得闭环系统传递函数特征方程为作劳斯阵列计算机控制系统数学模型介绍第64页解得当0K2.4时，系统为稳定。采样系统稳定性通常与系统采样周期T相关，普通说来T越大，系统稳定性就越差。计算机控制系统数学模型介绍第65页A6 采样控制系统稳态分析采样控制系统稳态分析下列图为单位反馈系统，其中G(s)为广义对象。讨论它在经典输入信号下系统稳态误差。首先求出误差采样信号e*(t)z变换E(z)与输入采样信号r*(t)z变换R(z)之间关系。由计算机控制系统数学模型介绍第66页得到 利用Z变换终值定理，可求得系统稳态误差为计算机控制系统数学模型介绍第67页依据G(z)中包含有z=1极点个数，能够将系统分成0型（没有z=1极点），1型（1个z=1极点），2型（2个z=1极点）等。1、单位阶跃输入、单位阶跃输入 对于0型系统，Kp为有限值，故有对于1型或高于1型系统有 所以有 系统无稳态误差。计算机控制系统数学模型介绍第68页
