1、第五章 抽样分布 Sampling Distributions 1 样本的联合概率密度函数 则总体的密度函数为 X1，X2，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1 ，X2，Xn相互独立，且同正态分布 称为样本数据矩阵。 为样本联合密度函数。 2 样本分布 一、维希特（Wishart） 1、定义随机矩阵的分布 矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列 向量拉长，组成一个长向量 定义 维希特（Wishart）分布的统计量 设 个随机向量 独立同分布于 ，则随机矩阵 服从自由度为 的非中心维斯特分布，记为 。 特别当 是 阶对称阵，则 的分布为的下三角部分组 成的长向量 在一元正
2、态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元 正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当 于一元统计中的 分布。 定理1：若 ，且 ， ，则 的分布密度 为 特别，当 和 时， 服从 分布。 维希特（ Wishart）分布的密度函数 二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质： （1）若A1和A2独立，其分布分别 和 ，则 的分布为 ，即维斯特(Wishart)分布有可加性。 （2） ，C为mp阶的矩阵，则 的分布为 分布。 三、 抽样分布 定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体 Np(,)的简单随机样本，有 则有 证明： 当 ， 时，由卡方分布的定义可知 可见维希
3、特分布是由卡方分布在多元下的推广。 服从自由度为 的卡方分布。 定理2 设 独立同正态分布，则统计量 证： 由于样本均值 相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 的卡方分布。 在一元正态的情形下，我们有样本的统计量 当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差 来代替总体的方差，则 那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答 时肯定的。 定义： 称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。 定理： 当 时， 服从自由度为n的中心霍特林分布 ，记为 。 定理：设 是来自多元正态总体 的简单随 机样本，有 定理：设 是来自多元正态总体 的简单 随机样本， 设 是来自多元正态总体 的简单随机样 本， （1）Wilks分布 定义：设 和 ，且 相互独立， 和 ， ，则称 服从Wilks分布，记 。 可以证明，当 和 时，Wilks分布可以用 分布近似。 四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量 在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 分布随机变量比值 的 统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量 和 分布。 2、统计量和分布 设k个总体 ，它们服从 。分别抽出 如下的样本： W=E+B 当K个总体的均值相等时 , 服从Wilks 分布。
