1、第三讲 经济与金融中的优化问题本章主要介绍用LINDO/LINGO软件求解经济、金融和市场营销方面的几个优化问题的案例。3.1 经济均衡问题极其应用在市场经济活动中，当市场上某种产品的价格越高时，生产商越是愿意扩大生产能力(供应能力)，提高更多的产品满足市场需求；但市场价格太高时，消费者的消费欲望(需求能力)会下降。反之，当市场上某种商品的价格越低时，消费者的消费欲望(需求能力)会上升，但生产商的供应能力会下降。如果生产商的供应能力和消费者的需求能力长期不匹配，就会导致经济不稳定。在完全市场竞争的环境中，我们总是认为经济活动应当达到均衡(equilibrium)，即生产和消费(供应能力和需求能
2、力)达到平衡，不再发生变化，这时该产品的价格就是市场的清算价格。下面考虑两个简单的单一市场及双边市场的具体实例。并介绍经济均衡思想在拍卖与投标问题、交通流分配问题中的应用案例。3.1.1 单一生产商、单一消费者的情形例3.1 假设市场上只有一个生产商(记为甲)和一个消费者(记为乙)。对某种产品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力如表3-1所示。举例来说，表中数据的含义是：当单价低于2万元但大于或等于1万元时，甲愿意生产2t产品，乙愿意购买8t产品；当价格低于9万元但大于或等于4.5万元时，乙愿意购买4t产品，甲愿意生产8t产品；依次类推。那么市场的清算价格应该是多少？表3-1 不同价格下的供
3、应能力和需求能力生产商（甲）消费者（乙）单价/（万元/t）供应能力/t单价/（元/t）需求能力/t1292244.543636482.258问题分析仔细观察一下表3-1就可以看出来，这个具体问题的解是一目了然的：清算价格显然应该是3万元/t，因为此时供求平衡(都是6t)。为了能够处理一般情况，下面通过建立优化模型来解这个问题。这个问题给人的第一印象似乎没有明确的目标函数，不太像是一个优化问题。不过，我们可以换一个角度来想问题：假设市场上还有一个虚拟的经销商，他是甲乙进行交易的中介。那么，为了使自己获得的利益最大，他将总是以可能的最低价格从甲购买产品，在以可能的最高价格卖给乙，直到进一步的交易无
4、利可图为止。例如，最开始的2t产品他会以1万元的单价从甲购买，以9万元的单价卖给乙；接下来的2t产品会以2万元的单价从甲购买，再以4.5万元的单价卖给乙；再接下来的2t产品他只能以3万元的单价从甲购买，再以3万元的单价卖给乙(其实这次交易他已经只是保本，但我们仍然是假设这笔交易会发生，例如他为了使自己的营业额尽量大)；最后，如果他继续购买甲的产品卖给乙，他一定会亏本，所以他肯定不会交易。因此，市场清算价格就是3万元。根据这个想法，我们就可以建立这个问题的线性规划模型。 模型建立 决策变量：社甲以1万元，2万元，3万元，4万元的单价售出的产品数量(单位：t)分别是A1，A2，A3，A4，乙以9万
5、元，4.5万元，3万元，2.25万元的单价购买的产品数量(单位：t)分别是x1,x2,x3,x4。 目标函数：就是虚拟经销商的总利润，即 9x1+4.5x2+3x3+2.5x4-A1-2A2-3A3-4A4. 约束条件：约束有 供需平衡 A1+A2+A3+A4=x1+x2+x3+x4； 供应限制 A1,A2,A3,A4=2; 消费限制 x1,x2,x3,x4=0。模型求解：（LINGO程序）MAX 9X1 + 4.5X2 + 3X3 + 2.25X4 - A1 - 2A2 - 3A3 - 4A4 SUBJECT TO A1 + A2 + A3 + A4 - X1 - X2 - X3 - X4
6、= 0 A1 = 2 A2 = 2 A3 = 2 A4 = 2 X1 = 2 X2 = 2 X3 = 2 X4 = 2 END运行分析其结果。3.1.2 两个生产商、两个消费者的情形 例3.2 假设市场上除了3.1中的甲和乙外，还有另一个生产商(记为丙)和另一个消费者(记为丁)，他们在不同价格下的供应能力如表3-2所示。此外，从甲销售到丁的每吨产品的运输成本是1.5万元，从丙销售到乙的每吨产品的运输成本是2万元，而甲、乙之间没有运输成本，丙、丁之间没有运输成本。这时，市场的清算价格应该是多少？甲和丙分别生产多少？乙和丁分别购买多少？表3-2 不同价格下的供应能力和消费能力 生产商（丙）消费者（
7、丁）价格/万元供应能力/t价格/元需求能力/t2115144836856812310问题分析首先，我们看看为什么要考虑从甲销售到丁的产品的运输成本和从丙销售到乙的产品的运输成本。如果不考虑这些运输成本，我们就可以认为甲乙丙丁处于同一个市场上，因此可以将两个生产商(甲和丙)的供应函数合并成一个供应函数，合并后就可以认为市场上仍然只有一个供应商。类似地，乙和丁的需求函数也可以合并成一个需求函数，合并后就可以认为市场上仍然是只有一个消费者。这样就回到了例3.1的情形。也就是说，考虑运输成本在经济学上的含义，应当是认为甲乙是一个市场(地区或国家)，而丙丁是另一个市场(地区或国家)，运输成本也可能还包括
8、关税等成本，由于这个成本的存在，两个市场的清算价可能是不同的。 仍然按照3.1的思路，可以建立这个问题的线性规划模型。 模型建立和求解 设甲以1，2，3，4(万元)的单价售出的产品数量(单位：t)分别是 A1,A2,A3,A4，乙以9，4.5，3，2.25(万元)的单价购买的产品数量(单位：t)分别是X1,X2,X3,X4；丙以2，4，6，8(万元)的单价售出的产品数量(单位：t)分别是B1,B2,B3,B4,丁以15，8，5，3(万元)的单价购买的产品数量(单位：t)分别是Y1,Y2,Y3,Y4,此外，假设AX和AY分别是甲向乙和丁的供货量，BX和BY分别是丙向丁的供货量。这些决策变量之间的
9、关系参见示意图3-1。目标函数仍然是虚拟经销商的总利润，约束条件仍然是四类(供求平衡、供应限制、需求限制和非负限制)，不过这时应该注意供需平衡约束应该是包括图3-1所示的决策变量之间的关系： AX+AY=A1+A2+A3+A4， (10) BX+BY=B1+B2+B3+B4， (11) AX+BX=x1+x2+x3+x4， (12) AY+BY=Y1+Y2+Y3+Y4。 (13) 此外的其他约束实际上只是一个简单的变量上界约束，可以用“SUB”命令表示。程序：MAX 9X1 + 4.5X2 + 3X3 + 2.25X4 + 15Y1 + 8Y2 + 5Y3 + 3Y4 - 2BX - 1.5A
10、Y - A1 - 2A2 - 3A3 - 4A4 - 2B1 - 4B2 - 6B3 - 8B4 SUBJECT TO 2) - AY + A1 + A2 + A3 + A4 - AX = 0 3) - BX + B1 + B2 + B3 + B4 - BY = 0 4) - X1 - X2 - X3 - X4 + BX + AX = 0 5) - Y1 - Y2 - Y3 - Y4 + AY + BY = 0 ENDSUB A1 2 SUB A2 2SUB A3 2SUB A4 2 SUB X1 2SUB X2 2SUB X3 2SUB X4 2SUB B1 1 SUB B2 3SUB B3
11、 4SUB B4 4 SUB Y1 1SUB Y2 2SUB Y3 3SUB Y4 4运行分析其结果。3.1.3 拍卖和投标问题例3.3 假设一家拍卖行对委托的5类艺术品对外拍卖，采用在规定日期前投标人提交投标书的方式进行，最后收到了来自4个投标人的投标书。每类项目的数量、投标人对每个项目的投标价格如表3-3中所示。例如，有3件第4类艺术品；对每件第4类艺术品；对每件第4类艺术品，投标人1，2，3，4愿意出的最高价分别为6，1，3，2(货币单位，如万元)。此外，假设每个投标对人每类艺术品最多只能购买一件，并且每个投标人购买的艺术品总数不能超过3件，那么，哪些艺术品能够卖出去？卖给谁？这个拍卖和投标问题中每类物品的清算价应该是多少？表3-3 拍卖与投标信息招标项目类型12345招标项目的数量12334投标价格投标人192863投标人267915投标人378634投标人454
