1、3.1 变化率与导数、导数的计算 第三 数及其用 要点梳理 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ， 若x=x2-x1,y=f（x2）-f（x1），则平均变化率 可表示为 . 基础知识 自主学习 2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义 称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f（x）在 x=x0处的导数，记作f（x0）或y|x=x0， 即f(x0)= = . （2）几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲 线y=f（x）上点 处的 .相应 地，切线方程为 . (x0,f(x0)切线的斜率
2、y-y0=f(x0)(x-x0) 3.函数f(x)的导函数 称函数f(x)= 为f（x）的导函 数，导函数有时也记作y. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 函数 f（x）=c f(x)= f(x)=xn (nQ*) f(x)= f(x)=sin x f(x)= f(x)=cos x f(x)= f(x)=ax f(x)= cos x 0 -sin x axln a(a0) nxn-1 ex 5.导数运算法则 （1）f（x）g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ; (3) = (g(x)0). f(x)=ex f(x)= f(x)=logax f(x)= f(x)=ln x f(x)= (
3、a0,且a1) f(x)g(x) f(x)g(x)+f(x)g(x) 基础自测 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点 （1+x，2+y），则 为（） A.x+ +2B.x- -2 C.x+2D.2+x- 解析 y=（1+x）2+1-12-1=(x)2+2x, =x+2. C 2.设正弦函数y=sin x在x=0和x= 附近的平均变化率 为k1,k2,则k1,k2的大小关系为（） A.k1k2B.k1k2 C.k1=k2D.不确定 解析 y=sin x,y=(sin x)=cos x, k1=cos 0=1，k2=cos =0，k1k2. A 3.曲线y=x3-3x2+1在点
4、（1，-1）处的切线方程为 （） A.y=3x-4B.y=-3x+2 C.y=-4x+3D.y=4x-5 解析 由y=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切 线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2. B 4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)- f(x)恒成立，且常数a,b满足ab,则下列不等式一 定成立的是（） A.af(b)bf(a)B.af(a)bf(b) C.af(a)bf(b)D.af(b)bf(a) 解析 令g(x)=xf(x),g(x)=xf(x)+f(x)0. g(x)在R上为增函数，ab, g（a)g(b),即af(a)bf(b). B 5.设
5、P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处 切线倾斜角的取值范围是0， ，则点P横坐标的 取值范围为（） A. B.-1，0 C.0，1D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 0, , 曲线在点P处的切线斜率0k1. 02x0+21,-1x0 . A 题型一 利用导数的定义求函数的导数 【例1】求函数y= 在x0到x0+x之间的平均变 化 率. 紧扣定义 进行 计算. 解 思维启迪 题型分类 深度剖析 探究提高 求函数 f（x）平均变化率的步骤： 求函数值的增量f = f（x2）- f（x1）； 计算平均变化率 解这类题目仅
6、仅是简单套用公式，解答过程相对简 单，只要注意运算过程就可以了. 知能迁移1 利用导数定义，求函数 在x=1处 的导数. 解 方法一 （导数定义法） 方法二 （导函数的函数值法） 题型二 导数的运算 【例2】求下列函数的导数. （1）y=2x3+x-6； （2）y= ； （3）y=(x+1)(x+2)(x+3)； （4）y=-sin (1-2cos2 ）； （5） . 如式子能化简的，可先化简，再利用导 数公式和运算法则求导. 思维启迪 解 （1）y=6x2+1. (3)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6， y=3x2+12x+11. 方法二 y=(x+1)(
7、x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3) =(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2) (x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. 求函数的导数要准确地把函数分割为基本 函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法 则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的 结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式. 对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如 （3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导 法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可 将解析式进行
8、合理变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，如（2）、（4）、（5）都是如此.但 必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误. 探究提高 知能迁移2 求下列函数的导数. （1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)； （3）y= . 解 (1)y=(5x2-4x+1) =(5x2)-(4x)+(1)=10 x-4. (2)y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, y=(6x3+2x2-3x-1) =(6x3)+2(x2)-(3x)-(1) =18x2+4x-3. 题型三 导数的几何意义 【例3】 （12分）已知曲线方程为y=x2, （1）求过A（2，4
9、）点且与曲线相切的直线方程； （2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程. （1）A在曲线上,即求在A点的切线方程 . （2）B不在曲线上，设出切点求切线方程. 解 （1）A在曲线y=x2上, 过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切 点. 2分 由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 4 分 因此所求直线的方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 6分 思维启迪 （2）方法一 设过B（3，5）与曲y=x2相切的直线 方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分 y=kx+5-3k, y=x2 得x2-kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0. 整理得:
10、(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10.10分 所求的直线方程为2x-y-1=0,10 x-y-25=0. 12分 方法二 设切点P的坐标为(x0,y0), 由y=x2得y=2x, x=x0=2x0, 8分 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5,10分 切点坐标为(1,1),(5,25), 所求直线方程为2x-y-1=0,10 x-y-25=0. 12分 由 探究提高 （1）解决此类问题一定要分清“在某点 处的切线”，还是“过某点的切线”的问法. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点 坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f(
11、x0), 写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某 点”为切点. （3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当 曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且 只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确. 知能迁移3 已知曲线 . (1)求曲线在x=2处的切线方程； (2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）y=x2, 在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4. 曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. （2）设曲线 与过点P（2，4）的切线 相切于点 ， 则切线的斜率k=y|x=x = . 切线方程为y- 即 0 点P（2，4）
12、在切线上，4= 即 (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意 f(x0) 与(f(x0)是不一的，f(x0)代表函数f(x)在 x=x0的数值，不一定0；而(f(x0)是函数 值f(x0)的数，而函数值f(x0)是一个常量，其 数 一定0，即(f(x0)=0. 2.于函数b9a29fdccbfa705eaf6c9907871c290L5b9acabffd7442e641e89ad45be3723a愶L5b9b06971cf9ff4f11f638b43
13、b42a899鼶L5b9ba60e0c085851b0b442a42f0c89aa猶L5b9bbd38324b736fa172defdda5062eaL5b9c6b8466a675e5ce3b76426e2cac63頶L5b9c9623f470221d42474f4dc97fa98f蜶L5b9d365a39bfd779c11d8a017a4c0f8aPL5b9d4ffa96a90400c13776a94ae1f7f5L5b9da9f4d981223c632e23f755b79e23L5b9de2ffe5f70a1b9f383c76bde630ae唶:L5b9ea9f8575087c330438
14、93365860040贶L5b9eed50444f9c61a7e7d08122d006571L5b9f99326c2a79bfabd90165ca0c045e瘶L5b9faa1dd6b157fbff6dcd4ec089a487紶L5ba06314494b1d87c16c54f4e667ea73L5ba0d57aa713c1f150bc93910edf678bL5ba0f3765ef24aaaaabbaca4895b6319L5ba0f8e4f29efdd97512ac8941bdf593鐶L5ba0fdb53dc114e7a0e41b7db66fbeff樶&L5ba277fc9b643e1cd
15、af7e3aa99c969c8紶L5ba2eda4c5d15bc4d6c0d9ce6760a256L5ba2fb0de2a87adb871df8cf416bbc0a鐶L5b9fd6addd508e0457d436453a9cbd4bL5b9c716b1d142b42af69c41d687917ed朶L5b9e7a73f9dd72b43dadea17785a74d9L5b9c1f9a12ba23c825606a8a747f0f82L5ba1141fa8ad72651492af3f7d4fae3eL5b9b211f27b793869cc9ea85ee40347b頶L5b9bb607f3e52bce
16、98913caf75129060弶L5b9ad3da65d646b5b96e2a6e33d14418L5ba3125b3679df1471101f57d1d31e79L5b9e83c8d8c8bfb52f75541d97e5ea12L5b9b99ed534289222d542574b5c81959父L5ba100fafbd047c72fb144762432e930L5b9d0b229ccbed803a3b9ceefe8f062d萶L5b9daef23a6cebc182182f100fec81d4L5b9afee2b190d0416f49c90d78585256L5b9ac7024878cfbc
17、4fbf44857b3f84fc稶L5b9e00dfdd68367c5728cf5084bd7790L5ba2d86ab65e2b6ccd6773a35d1546daL5ba0ce0936a5a5334a4e510b4454e318弶L5b9ea5076e166689bb4f91c5d5a1e3c6L5ba1e6581fe4e86c0d46b9125849eef5L5b9ae607df30b9103cc124c7f706461aL5ba2ed2c7ee065aa92fc422da5007bd4L5b9aa1ff5eda84c5aeb603a040c00eb9L5b9e827567dd94da8
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20、4f55050603de8谶L5b9db23b688cc43747d1cdc44ddbb001L5b9d4d088dbcd7c04cb314c391f966cdL5b9b37c723855445b9c9e7ff59c2de9fL5b9da75f1c370753721d02e4016a3d84L5b9e6791056ddd20749f6eb76b59e863椶L5b9b3e2ef9db9b59f5e92694c8233ae7L5b9ee8dcb2557bc13d2aba990b8df51c嬶L5b9bf1eff97626fc7765fbcf3b73e4bf鈶L5b9c124e54b6c1c386ba96da15849a1eL5b9c17766774aa7807ce3482dc1dfc7fL5ba356dda85fd39e06d23e8dfd1de050欶L5ba16550bbe2374f78c68b83eb0db00bL5b9f878cc2bd86db06230c027
