1、共线向量与共面向量 二.共面向量: 1、共面向量:平行于同一平面的向量，叫共面向量 即能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量. OA 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量就不一定共面的了。 平面向量基本定理： 如果是 同一平面内两个不共线的 向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 思考1：空间任意向 量 与两个不共线 的向量 共面时， 它们之间存在怎样 的关系呢？ 例如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 , , , , 求证： 四点E、F、G、H共面； 例已知 ABCD 从平面AC外一点O引向量 求证：四点E、F、G、H共面； 证明：
2、四边形ABCD为 （） （）代入 所以 E、F、G、H共面。 类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论? N O C M A O 然后证唯一性 D C B 证明思路：先证存在性 E 注：空间任意三个不共面向量都可以构成空 间的一个基底.如： 几个定义： 线性相关；线性无关； 线性表示；线性组合 例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND, 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN. 分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可. A B C D A1 B1 D1 C1 M N 解: A B C D A1 B1 D1
3、C1 M N 连AN, 则MN=MA+AN MA= AC = (a+b) 1 3 1 3 AN=AD+DN=ADND = （2 b + c ) 1 3 = （ a + b + c ) 1 3 MN= MA+AN 例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND, 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN. 练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、AC ，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上 ，且使MG=2GN，试用基底 表示向量 C O A B M N G 解：在OMG中， 练习 .空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c 点M在OA上,且OM=2MA,N
4、为BC的中点,则 MN=( ). O A B C M N (A) a b + c 1 2 2 3 1 2 (B) a + b + c 1 2 2 3 1 2 (C) a + b c 1 2 2 3 1 2 (D) a + b c 1 2 2 3 2 3 得证. 为什么? 练习： 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？ 1.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， , 则x的值为( ) 2.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线 (B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线 3.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面 4.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线又不共面向量 三、课堂小结： 1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。 3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
