1、第十五章 傅里叶级数 1 傅里叶级数 古今往来，众多数学家一直在寻找用简单函数较好 地近似代替复杂函数的途径，除了理论上的需要外 ，它对实际应用的领域的意义更是不可估量。 在微积分发明之前，这个问题一直没有本质上的 突破。 熟知的简单函数：幂函数，三角函数。 英国数学家泰勒在17世纪找到了用幂函数的无限线 性组合表示一般的解析函数的方法。 条件很苛刻：要求f(x)有任意阶导数！ 实际应用时，常用f(x)的n次泰勒多项式近似代替 f(x),但仅在x0附近近似程度较好。 18世纪中叶，法国数学家傅里叶在研究热传导问 题时，找到了三角函数的无限线性组合表示有限 区间上的一般函数的方法，即把函数展开成
2、三角 级数。 与泰勒展开相比，傅里叶展开对函数的要求要宽 容的多，而且在整个区间都有较好的逼近效果。 因此其应用也更广。在声学、电学、光学、热力 学等领域极有价值。 近代数学的一个巨大分支傅里叶级数论，其 理论优美，被誉为“一首数学诗”。 之后又由此产生了调和分析、小波分析等新理论。 一、问题的提出 正弦函数 简单的周期现象，简谐振动。 一个周期运动，物理学上可以分成若干个简谐振 动的叠加： 对无限个简谐振动叠加，得到函数项级数： 如果这个级数收敛，则它描述的是更为一般的周期 运动现象。 二、三角级数 三角函数系的正交性 1.三角级数 三角级数 2.三角函数系的正交性 三角函数系 因此三角函数
3、系 有如下特性： （1）它们的最小公共周期为 （2）任何两个不同的函数相乘在 上积 分为0， （3）任何一个函数的平方在 上积分不 为0， 注: 定义： 三角函数系在 具有正交性，称之为正交函数系。 因此， 定理1 证 由优级数法得证。 三、函数展开成傅里叶级数 等号成立的条件是什么? 1.傅里叶系数 且右端级数一致收敛，则 定理2 证由一致收敛性，可以逐项积分 f(x)的傅里叶系数 f(x)的傅里叶级数 问题: ? 定理2说明，如果f(x)能展成一致收敛的三角级数，则 这个三角级数必是f(x) 的傅里叶级数。 但是，若f(x)是以 为周期的函数，在 可积 ，则可以求出f(x)的傅里叶系数，从
4、而写出傅里叶级 数。记作： 右端级数收敛吗？若收敛是否收敛于f(x)? 由有限个光滑 弧段组成，至 多有限个第一 类间断点和角 点。 不是左 右导数 四. 收敛定理 证明在第3节进行。 推论： 注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.但幂级数在形式上 和计算上都要简单得多，各有所长。 解所给函数满足收敛定理的条件. 和函数图象为 所求函数的傅氏展开式为 函数图象 和函数图象 观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程取Em=1 观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程 观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程 观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程 观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程 可见傅里叶级数的整体逼近效果较好。 注意: 对于非周期函数,如果函数 只在 区间 上有定义,并且满足收敛定 理的条件,也可展开成傅氏级数. 作法: f(x)的傅里叶级数指的是F(x)的傅里叶级数。 解所给函数满足收敛定理的条件. 拓广的周期函数的傅 氏级数展开式在 收敛于 . 所求函数的傅氏展开式为 利用傅氏展开式求级数的和： 试证明： 证 例 3 结论可证. 思考题 思考题解答 作 业 P70. 1 (3)
