1、主讲教师:冉扬强 工程数学 复变函数 辅导课程十四 第五章 留 数 第二篇 复变函数 第五章 留 数 2 留 数 一、留数的定义及留数定理 1、定义 柯西定理告诉我们，如被积函数 在围线 c所围闭区域上解析，则积分 ，但如 果 在该区域上有奇点 a (孤立奇点)，则积 分 一般说来不再为0. 如： 这里 为函数 的一阶极点. 设 a 为 的孤立奇点，在以 a 为心，半径为R 的无心邻 域，即在 内把 展成洛朗级数 ： 洛朗级数的 项的系数 就这样具有 特别重要的地位，称它为 在 a 的留数(或 余数或残数)，记着 或 或 ，这样： 2、留数定理 设 在围线 c 所包围的区域 D 上除点 外解析
2、，并且在c上每点也解析， 则 二、留数的求法 1、 设 a 为 的 n 阶极点，则 2、当a为 的一阶极点，则 3、设 , , 在点a 解析, 且 ，而a为 的一阶0点 (即 )，则 例1. 求 在 的留数 解： 例2. 计算 解: ， 是 的 三阶极点, 故 例3. 计算 解: 在单位圆周内, 以z = 0为孤 立奇点.则: 三、无穷远点的留数 定义：设函数 在 点的某无心邻域 内解析，则称 点为 的 孤立奇点. 定义：设 为 的一个孤立奇点，则称： 为 在 点的留数，记为 是指沿c 的反方向（顺时针方向），这正 是 点的正方向. 无穷远点的留数 等于 在 的洛朗展式中的 系数的反号。 定理
3、：如果 在闭平面上只有有限个孤立奇 点(包括无穷远点在内) 则在各 点的留数的总和为0. 例.计算积分： 解：求被积函数的奇点，令 或 得 当 时， 解析，故无穷远处 也是其奇点，所以 3 留数在定积分计算上的应用 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下 ： 定积分 的积分区间 可以看作 是复数平面上的实轴上的一段 ，于是，或 者利用自变数的变换把 变成某个新的复数 平面上的回路，这样就可 以应用留数定理了；或者 另外补上一段曲线 ， 使和合成回路 l, l 包围着 区域B，这样 一、计算 (类型) 被积函数是三角函数有理式. 作变量代换： 例1、计算积分 解： 的模为： 在单位圆内，而单极点 的模为: 在单位圆外。 二、计算 1、引理：设 沿圆弧 (R充分 大， )上连续，且 在 上一致成立，则 特别地，当 则： 2、(类型2)若(1) 在实轴上没奇点;(2)在上 半平面除有限个奇点外是解析的;(3)当 在实 轴上或上半平面 时 一致地 ， 则： 例11 设 ，计算 解： 在上半平面的奇点为： 3、(类型)计算 条件：(i). 为偶函数， 为奇函数 (ii). , 在实轴上没有奇点，在上 半平面除有限个奇点外是解析的。 (iii).当 在上半平面或实轴上 时， 和 一致地 ，则 例13 计算积分 解：
