1、数学物理方法 李晓红 西南科技大学理学院 * n复变函数积分的定义 n复变函数积分的性质 n柯西定理 n柯西积分公式 复变函数的积分 复函数的分 .积分的定义： 说明： (1) 当 是连续函数，且L是 光滑曲线时，积分 一定存 在； (2) 可以通过两个二 元实变函数的线积分来计算. 复积分的基本性质 (1)若 f(z) 沿L 可积，且 L 由 L1 和 L2 连接而成，则 (2) 常数因子 k 可以提到积分号外，即 (3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的 和（差），即 (4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号. 即 其中， L- 为 L 的负向曲线 闭曲线的正方向：曲线上点顺此方向沿
2、该 曲线前进时，邻近P点曲线内部始终位于P点 的左方 0 x y 1 1 1+i 0 x y 1 1 1+i 解法一 例 计算 其中 C 以 z0为 中心，r为半径的正方向，n 为整数 解： 的方程为 所以： 结论：与积分路线的圆周中心及半径无关 柯西定理 如果函数 在单 连通区域 内处处解析那么函数 沿 内任何一条封闭曲线 的积分为零 柯西定理： 如果曲线 是区域的边界， 在 内及 上解析即在闭区域 上解析 则 柯西古萨积分定理 注：经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以 弱化为在区域D内解析，在边界上连续以后使用中 ，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立 这个定理是柯西(Cauchy)于1
3、825年发表的， 古萨(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为 柯西古萨定理. 柯西定理推论 这个定理可用来计算周线内部有奇点 的积分! 柯西定理2 柯西积分公式 有界区域的单连通柯西积分公式 定理 （柯西积分公式） 如果 在有 界区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简 单闭曲线，且其内部全含于D, 为L内的任一 点，那么 称为柯西积分公式。 柯西积分公式 意义:对于解析函数，只要知道了它在区域边界上 的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的 值就完全确定了 结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相 等，则它们在整个区域上也相等 设 f (z) 在区域 D 内解析，在边界 C
4、上连续，则 1. 任意阶导数 在区域 D 内函数 f (z) 的任意阶导数存在，且： 2. Morera 定理：设函数 f (z) 在区域 D 内连续，且沿区域内任 意围线积分为零，则该函数在区域 D 内解析。 柯西积分公式的重要推论 例 计算 其中 C 以 z0为 中心，r为半径的正方向，n 为整数 1 y 1C1 O L x 1C2 解题思路 1 y 1C1 O L x 1C2 计算积分 【解】（1）注意到 在复平面内解析，而 -i 在积分环路C内，由柯西积分公式得 （2）注意到函数 在 内解 析，而 i 在 内， 由柯西积分公式得 【解】根据柯西积分公式，得到 故得到 任何两个原函数相差一个常数 不定积分的定义: 定理(复积分的Newton-Leibnitz公式) 例题 例2 计算积分 【解法1】 在整个复平面上解析，且 例3 计算积分 可用分部积分法得 【解】 由于 在复平面内处处解析， 复变函数积分计算方法总结 方法一 方法二 方法三 方法四 作 业 nP31：2-10（任选1个）； nP31：2-11（任选2个）； nP32：2-12；
