1、第四章 离散系统最优控制 4.1 离散变分法与Euler方程 4.2 离散系统最优控制 4.3 连续变分法与离散变分法求解结 果的对比 4.4 离散LQR问题 1 离散系统包括两种：（1） 全数字系统；（2）具有采样与 保持的数字系统。对于全数字系统，泛函求极值问题为： 对于具有采样与保持的数字系统，将连续系统的泛函求极值 问题离散化后，可表达为： (4-1a) 2 可简化为： 当采样周期T 取为一个单位，则得： (41b) 式中， 3 可见，这两种形式的离散系统、泛函求极值问题的提 法是相似的，在以下的讨论中不严加区分. 4.1 离散变分法与Euler方程 为了简单起见，先不考虑系统方程的约
2、束。设泛函求极 值问题为: 令 ，式中， 为最优轨线， 为 的一次变分，这是在离散时刻k时的一次变分。 4 事实上，连续系统中的变分概念，同样可以在各个离散时 刻上使用。同样可以得出泛函极值存在的必要条件是 而且，泛函的一次变分也是取线性主部。 由以及 5 但 6 此式相当于“分部积分”,代入得泛函极值存在的必要条件为: 7 应由下列两式分别为零，即 在过渡过程中若 任意，得离散Euler方程 并得横截条件: 当 （4-2） 8 4.2离散系统最优控制 泛函求极值 化为无约束优化问题， 式中，Lagrange乘子向量设为(k1)，若设为(k)， 虽然也可以求解，但算式繁琐。 9 令Hamilt
3、on函数H为 泛函极值存在的必要条件为 10 式中， 这相当于“分部积分”。从这里可看出 与 所以，泛函极值存在的必要条件为 （横截条件） （Euler方程） 相对应 11 由于已知 实m维空间中任取，即x和u是任意的，因此，可以取 换言之，x和u 可以分别在实n维空间和 于是，泛函极值存在的必要条件可化为 （横截条件） （伴随方程或协态方程） （耦合方程） （状态方程） （4-4） 12 例： 解：化为无约束优化问题， 令Hamilton函数H为 由协态方程得 13 故 由耦合方程 得 故 由状态方程 得 14 将 代入 中，得 故最优控制为: 最优轨线为 4.3 连续变分法与离散变分法求解
4、结果的对比 泛函求极值 (1) 用连续变分法求解 令 15 由 得 由 得 状态方程为 这个两点边值问题用数字计算机求解，则化为， 16 即 （4-5） (2)用离散变分法求解 首先将目标函数及系统方程离散化，得 即 17 由 得 由 得 两点边值问题为: （4-6） 令 18 得 （4-7） 可见，式（4-5）和式（4-7）完全相同。换言之，当 采样周期很小时，用离散变分法求解的结果接近于用 连续变分法的求解的结果。 当T很小， 二项式展开后， 19 4.4 离散LQR问题 对于线性离散系统提出二次型目标函数， （4-8） 固定 20 令Hamilton函数H为 由协态方程 得 由耦合方程
5、得 即 21 由横截条件 得 类似于连续LQR问题，可得两点边值问题， （4-9） 仿照连续LQR问题的做法，令 并将: 代入式（4-9），得 （4-10） 22 即 （4-11） 由式（4-10），得 由于已给定 在过渡过程中 故有 （4-12） 23 边界条件 （因为 故 边界条件 由式（4-10），得 代入 （4-12）称为矩阵Riccati差分方程,也可写为 （4-13） 24 此式中 求逆并取转置，即 由于连续系统的状态方程， 离散化后， 式中 实际上就是原连续系统的状态转移矩阵， 再利用式（4-13），得 故其逆阵是存在的。 25 式中，Kalman增益 同样可得最优反馈控制结构，如图4-1所示。 图4-1 最优反馈控制的结构 + + 26 矩阵Riccati差分方程另有一种形式： （4-14） 令 （4-15） 则 即 即 27 两边右乘 （4-16） 由式（4-15），得 即 （4-17） 式（4-16）代入式（4-17）， 28 故 式（4-18）代入式（4-12），得 此式即为式（4-14）。 （4-18） 29 习题 试列出两点边值问题。 2 . 及 固定。 N为终端函数。 1. 30 3. 求最优控制表达式。 31
