1、 有限元分析及应用有限元分析及应用 Finite Element Analysis andApplicationFinite Element Analysis andApplication 扬州大学机械工程学院 College of Mechanical Engineering Yangzhou University 郑 翔 TEL：0514-87980464 MP: 13401292497 Email: 9zhengxiang 1 5.1 轴对称问题 5.1.1基本概念、基本方程 5.1.2节点位移与节点载荷 5.1.3单元刚度矩阵 5.1.4单元刚度矩阵的叠加 5.1.5边界条件 5.1.
2、6工程实例 5.2 空间问题有限元法 5.2.1基本方程 5.2.2四面体单元 5.2.3等参数单元 5.2.4空间六面体单元 5.3工程实例 College of Mechanical Engineering Yangzhou University 有限元分析及应用第 5 章 空间问题简介 第 5 章 空间问题简介 2 第五章 空间问题简介 工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作用的 回转体，本章简单介绍两类问题： 轴对称问题和空间问题的有限元计算。 空间问题的主要困难： （1）离散化不直观（网格自动生成）； （2）未知量的数目剧增
3、（对某些问题简化,轴对称问题）。 空间分析的优点： 精确。 3 1）几何形状关于轴线对称； 2）作用于其上的载荷关于轴线对称 。 3）约束条件关于轴线对称。 因过z轴的任一子午面都是对称面， 其上任一点p只在该平面上发生位移，即 弹性体内任一点的位移、应力与应变只与 坐标r、z有关，与 无关。从而，轴对 称问题可转化为二维问题，但因与平面问 题有区别，常称为二维半问题。 5-1 轴对称问题 z r x p 柱坐标系 4 5-1 轴对称问题 位移分量 应力分量 应变分量 虚功方程 基本方程 5 5-1 轴对称问题 步骤1：选择单元类型 步骤2：选择位移函数 步骤3：确定应变位移和应力应变关系 步
4、骤4：推导单元刚度阵 刚度阵的推导：刚度阵的推导： 6 5-1 轴对称问题 单元位移函数 利用节线位移，待定系数， 可得 z r o i(r z) rm u rj u ri u mw j w i w ii m(r z) mm j(r z) jj 单元类型：三角形单元单元类型：三角形单元 7 5-1 轴对称问题 其中 为r的函数， 故B的元素不是常量，与平面三角形单元有区别。 当r 0时，f不存在，即奇异，需近似处理。 应变矩阵应变矩阵 刚度矩阵 8 5-1 轴对称问题 1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相 连接； 2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； 3）单元边界是一回转面；
5、4）应变分量 中出现了 ，即应变不是 常量；且应变矩阵在r 0 时，存在奇异点， 需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点 坐标。 轴对称单元的特点 （与平面三角形单元的区别）（与平面三角形单元的区别） 9 5-2 空间问题有限元法 基本方程 10 5-3 四面体单元 1.单元类型： 2.位移函数 线性位移函数 四面体单元节点位移向量 11 5-3 四面体单元 这些系数为四面体体积 V各行各元素的代数余子式 利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式 其中 12 5-3 四面体单元 3.应变矩阵 其中 显然B为常量矩 阵，故四面体单元 为常应变单元 13 5-3 四面体单元 4.刚度矩阵 14
6、 5-4 等参数单元 从前可知，矩形单元比三角形有更高的精度，而三角 形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更 希望有单元精度高、边界适应性好的单元。本章将介绍的 等参单元具有此特点。所谓等参单元：即以规则形状单元 （如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函 数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单 元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有 相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。借助 于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限 元离散。 15 5-4 等参数单元 局部坐标 总体坐标 变换函数 1.等参变换 将局部坐标下的规则形状单元 转换为
7、总体坐标下几何形状扭曲 的单元，以满足任意形状离散的 要求。 m为单元节点数，Ni为局部 坐标下表示的形函数，xi为 总体坐标下的节点坐标 对四节点四边形等参元，Ni 最方便的变换函数是: 16 5-4 等参数单元 变换实例 x y z t 3 (1,1) 4 (-1,1) 2 (1,-1) 1 (-1,-1) y =1 =1 =-1 =1 2 (x2,y2) 1 (x1,y1) 3 (x3,y3) 4 (x4,y4) u v P(x,y ) 17 5-4 等参数单元 2.形函数的性质同前 注意：不是直线 在矩形单元上 的变化如图 18 5-4 等参数单元 形函数N1的正确表示 直线 （1,-
8、1） 直线 不是平面 19 5-4 等参数单元 单元内任意点p的位移函数(2D)： 其中：Ni和坐标变换式的形函数相同。 3.等参单元位移函数 20 5-4 等参数单元 1）应变矩阵 注意：应变为位移对x，y 的导数，如四节点四边形 单元计算式如右： 2）复合求导 利用x，y，z与局部坐标系 的关系，有 用于二维等参元 4.等参单元刚度矩阵 21 5-4 等参数单元 记为矩阵(如四节点四 边形单元)J称为Jacobi矩 阵，由坐标变换式确定，当 J的逆存在时，则形函数 对x，y的导数可求，即应变 阵可求。 2）复合求导 22 5-4 等参数单元 应变矩阵 23 5-4 等参数单元 一般而言，等
9、参单元的 刚度积分很难有解析式，必 须进行数值积分，目前普遍 采用高斯数值积分法。(略) 3）刚度矩阵 24 5-5 空间六面体单元 8 (x8,y8,z8) 1 2 3 4 (x4,y4,z4) 5 (x5,y5,z5) 6 7 x z y 2 3(1,- 1,1) 4 8(1,1,-1) 6 5 7 25 5-5 空间六面体单元 （i=1,2,8) 其中 ： 例 ： 形函数 26 5-5 空间六面体单元 1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。证 明略。 2）等参单元存在的充要条件是： 为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不
10、能有 内角大于或等于或接近180度情况。 等参单元的几点说明： 27 5-5 空间六面体单元 3）等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时， 容易用很少的单元去逼近曲线边界。 4）上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等 参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算更 复杂，积分更困难，实际中，很少超过3次曲线型。 5）上述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述 单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换的 几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单 元为超单元，反之，为亚单元。这两类单元的收敛性 也可得到满足。略 6）当然，也可取描述单元几何形状的几何模式不是形函 数的，如p-element 28 下课，谢谢大家！ 29
