1、1.3.3 案例3、进位制 1 我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活 中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单 位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么 是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的 一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进 一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等. “满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几. 说明：可使用数字符号的个数称为基数.基数都是 大于1的整数. 2 如二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有0,1,2,8,9,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有09
2、等10个数字 以及AF等6个字母(规定字母AF对应1015), 十六进制的基数是16. 注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. 说明：十进制数一般不标注基数. 3 问题十进制数3721中的3表示3个千,7表示7 个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成 下面的形式: 3721=3103+7102+2101+1100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 么形式? 1011(2)=123+022+121+120. 同理: 3421(5)=353+452+251+150. 4 一般地,若k是一个大于1
3、的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式（其中an,an-1, ,a0是自然数） anan-1a1a0(k) (0ank,0an-1,a1,a0k) 意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,a1,a0都须小于k. k进制的数与十进制一样也可以表示成不 同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1 +a1k1+a0k0 . 注意这是一 个n+1位数. 如：1011(2)=123+022+121+120 5 不同进制间的转换 6 将k进制数转换为十进制数 例 把二进制数110011
4、(2)化为十进制数. 解：110011(2)=125+1 24+ 023+0 22 + 121+1 20 =51 7 将k进制数转换为十进制数 练习：把下列数化为十进制数 (1) 1011010(2) (2) 10212(3) 8 将十进制数转换为k进制数 例 把89化为二进制数. 例 把89化为五进制数. 9 11 2 51 方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。 例2、 把89化为二进制数 解： 根据“满二进一”的原则，有 892441 2 (2220)+1 2( 2( 2110)+0)+1 2 (2 (2 (2 51)+0)+0)+1 5 2 21 2（2（2（2(
5、2x（2+0）1）+1)0）0）1 89126025124123022021120 所以：89=1011001（2） 2（2(2（2(221）1)+0）0）1 2(2（2（2321）0）+0)1 2(2（24+2220）0)+1 2624+231 892441 44 2220 22 2110 2 (2 (2 (2 (2 21)+1)+0)+0)+1 所以892（2（2（2（2 (2 (2 01）+0)+1)1）0）0）1 十进制转换为二进制 2 2 10 1 2 01 2 (2 (2 (2 (2 (2 1+0)1)+1)+0)+0)+1 2 (2 (2 (2 (2 (2 (20+1)+0)1)
6、+1)+0)+0)+1 = 2（25+23220）0)+1 10 注意： 1.一直除到商为0停止; 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001（2） 另解（除2取余法的另一直观写法）： 5 2 2 2 1 2 0 1 0 余数 11 22 44 89 2 2 2 2 0 1 1 0 1 练习 将下面的十进制数化为二进制数？ （1）10（2）20 上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法， 称为除k取余法 11 例3：把89化为五进制数。 十进制转换为五进制 解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为： 所以，89=324（5） 89 5 175 3 5 0 4 2 3 余数 12 练习： 完成下列进位制之间的转化： （1）10231（4）= （10）； （2）235（7）= （10）； （3）137（10）= （6）； （4）1231（5）= （7）； （5）213（4）= （3）； （6）1010111（2）= （4）。 13 课后作业： 阅读教材41页例4、43页例6，了解 进制转换的程序设计 14 小结 进位制的概念及表示方法; 各种进位制之间的相互转化. anan-1a1a0(k) =ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0 . 15
