1、专题学习 -几何证明中常见的 “添辅 助线”方法 -“周长问题”的转化 1 .连结 目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点X和Y 语言描述:连结XY 注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过 程中描述添法 2 .连结 典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D. AC B D 1.连结AC 构造全等三角形 2.连结BD 构造两个等腰三角形 3 .连结 典例2:如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证:点M是CD的中点. A C B D 连结AC、AD 构造全等三角形 E M 4 .连结 典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
2、 的中点，求证：AMB ANC A CB D 连结AD 构造全等三角形 NM 5 .连结 典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长. A C B D 连结BD 构造全等三角形O 6 目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XYMN 注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过 程中描述添法 .角平分线上点向两边作垂线 段 7 .角平分线上点向两边作垂线段 典例1:如图,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求点D到AB的距离. A C D 过点D作DEAB 构造了: 全
3、等的直角三角形且距离相等 B E 8 .角平分线上点向两边作垂线段 典例2:如图,ABC中, C =90o,AC=BC, AD平分BAC,求证:AB=AC+DC. A C D 过点D作DEAB 构造了: 全等的直角三角形且距离相等 B E 思考: 若AB=15cm,则BED的周长是多少 ? 9 .角平分线上点向两边作垂线段 典例3:如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD. A C D 过点E作EFBC 构造了: 全等的直角三角形且距离相等 B F 思考: 你从本题中还能得到哪些结论? E 10 .角平分线上点向两边作垂线段 典例4:如图,OC 平
4、分AOB, DOE +DPE =180o, 求证: PD=PE. A C D 过点P作PFOA,PG OB 构造了: 全等的直角三角形且距离相等 B F 思考: 你从本题中还能得到哪些结论? E P G O 11 目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN 和 垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过 程中描述添法 .垂直平分线上点向两端连线 段 12 目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN 和 垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过 程中描
5、述添法 .中线延长一倍 13 1.AD是ABC的中线 ， .中线延长一倍 A B C D E 延长AD到点E，使DE=AE， 连结CE. 14 .角平分线上点向两边作垂线段 2.如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD. 延长BE和CD交于点F 构造了: 全等的直角三角形 F 思考: 你从本题中还能得到哪些结论? A C D B E 15 1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB, DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少? .“周长问题”的转化 借助“角平分线性 质” BA C D E BE+BD+DE BE+BD+CD
6、BE+BC BE+AC BE+AE AB 16 2.如图,ABC中,C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长. .“周长问题”的转化 借助“垂直平分线 性质” B A C DE AD+AE+DE BD+CE+DE BC 17 3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称. 若A1 A2 =6cm,求ABC的周长. .“周长问题”的转化 借助“垂直平分线 性质” B A C O MAB+AC+BC A1 B+ A2 C+BC A1 A2 A1 A2 N 18 4.如图, ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, ABM周长为13cm，求ABC的周长. .“周长问题”的转化 借助“垂直平分线 性质” B A C M AB+BC+AC AB+ BM+MC+6 N AB+ BM+AM+6 13+6 19 5.如图, ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC. 若BC=6cm, AMN周长为13cm，求ABC的周长. .“周长问题”的转化 借助“等腰三角形 性质” B A C P AB+AC+BC AM+ BM+AN+NC+6 N AM+ MP+AN+NP+6 13+6 M AM+AN+MN+6 20
