1、复合函数的单调性 复合函数的定义：设y=f(u)定义 域A，u=g(x)值域为B，若A B， 则y关于x函数的y=fg(x)叫做函 数f与g的复合函数，u叫中间量 1 复合函数的单调性 复合函数的单调性由两个函数共同决定； 引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u) 在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。 证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b, 因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2
2、),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函 数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2), 即 y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上 是增函数。2 复合函数的单调性 引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间 (a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在 区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。 证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以 f(u1)f(u2),
3、 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x) 在区间(a,b)上是增函数。 3 复合函数的单调性 若u=g(x) 增函数减函数增函数减函数 y=f(u)增函数减函数减函数增函数 则 y=fg(x) 增函数增函数减函数减函数 规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增 函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是 减函数。 “同增异减” 4 复合函数的单调性 例1：求下列函数的单调性y=log4(x24x+3) 解 设 y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3 ，解得原复合函数的定义域为x1或x3. 当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=lo
4、g4u 为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间 ；当x(3，)时，u=x24x+3为增函数y=log4u为 增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间. 5 解：设u=x24x+3 ，u=x24x+3=(x2)21, x3或x1，(复合函数定义域) x2 (u减) 解得x1.所以x(，1)时，函数u单调递减. 由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知： u=(x2)21的单调性与复合函数的单调性一致，所 以(，1)是复合函数的单调减区间. u=x24x+3=(x2)21, x3或x1，(复合函数定义域) x2 (u增) 解得x3.所以(3，+)是复合函数的单调增区间. 代数
5、解法： 6 解: 设 y=logu,u=2xx2.由u0,u=2xx2 解得原复合函数的定义域为0x2. 由于y=log13u在定义域(0，+)内是减函数，所以， 原复合函数的单调性与二次函数 u=2xx2的单调性 正好相反.易知u=2x-x2=-(x1)2+1在x1时单调增. 由 0x2 （复合函数定义域） x1，(u增) 解得0x1,所以(0，1是原复合函数的单调减区间. 又u=(x1)2+1在x1时单调减，由 x2， (复合函数定义域) x1， (u减) 解得0x2,所以0，1是原复合函数的单调增区间. 例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2xx2) 7 例3：求函数 的单调性
6、。 解：设 ， f(u)和u(x)的定义域均为R 因为，u在 上递减，在 上 递增。 而 在R上是减函数。 所以， 在 上 是增函数。在 上是减函数。 8 例4：求 的单调区间. 解: 设 由uR, u=x22x1, 解得原复合函数的定义域为xR. 因为 在定义域R内为减函数，所以由二 次函数u=x22x1的单调性易知,u=x22x 1=(x1)22在x1时单调减，由 xR, (复合函数定义域) x1， (u减) 解得x1.所以(，1是复合函数的单调 增区间.同理1，+)是复合函数的单调减区 间. 9 复合函数的单调性小结 复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其 中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增 函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数 ； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是 增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为 减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。10
