1、且A1D1B1C1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1， 所以A1B平面CD1B1.又因为BDA1BB，BD，A1B平面A1BD， 所以平面A1BD平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD平面CD1B1，又平面ABCD平面B1D1C直线l，平面ABCD平面A1BD直线BD，所以直线l直线BD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1BD，所以B1D1l.5.连接AC交BD于点O，连接MO，因为PMMC，AOOC，所以PAMO，因为PA平面MBD，MO平面MBD，所以PA平面MBD因为
2、平面PAHG平面MBDGH，所以APGH.6.证明 (1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD， CD平面ABCD，所以PACD，因为ACCD，且PAACA，所以CD平面PAC，而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD而PD平面PCD，所以AEPD因为PA底面ABCD，所以PAAB又因为ABAD且PAADA，所以AB平面PAD，而PD平面PAD，所以ABPD又因为ABAEA，所以PD平面ABE.7.(1)证明 因为ABCD为正方形,所以ADBC. 因为AD平面PB
3、C,BC平面PBC,所以AD平面PBC.因为AD平面AEFD,平面AEFD平面PBC=EF, 所以ADEF.(2)证明 因为四边形ABCD是正方形,所以ADAB.因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,AD平面ABCD,所以AD平面PAB.因为PB平面PAB,所以ADPB.因为PAB为等边三角形,E是PB中点,所以PBAE.因为AE平面AEFD,AD平面AEFD,AEAD=A,所以PB平面AEFD.(3)解 由(1)知,V1=VC-AEFD,VE-ABC=VF-ADC=23VC-AEFD=23V1,VBC-AEFD=53V1,则VP-ABCD=V1+53V1=83V1, V1
4、V2=38.8.解 (1)证明：在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BG平面PAD(2)证明：如图，连接PG.因为PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGAD由(1)知，BGAD，又PG BGG，所以AD平面PGB因为PB平面PGB，所以ADPB(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，GBDE.而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，PB平面PGB，GB平面PGB，PBGBB，所以平面DEF平面PGB因为BG
5、平面PAD，PG平面PAD，所以BGPG.又因为PGAD，ADBGG，所以PG平面ABCD又PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD9.【解】(1)证明：因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)证明：因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB又因为PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，且EF平面
6、CEF，所以PA平面CEF.10.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD. 又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.11.(1)证明因为ABBC，ADCD， 所以BD垂直平分线段AC.又ADC120，所以MDAD，AM. 所以AC.又ABBC，所以AB
7、C是等边三角形，所以BM，所以3，又因为PNPB，所以3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故DPM即为所求的角在RtPAD中，PD2，所以sinDPM， 所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.12.【解】(1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM，所以四边形AMCB是平行
8、四边形，从而CMAB又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交所以PA平面ABCD，从而PABD连接BM，因为ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD所以四边形BCDM是平行四边形所以BMCDAD，所以BDAB又ABAPA，所以BD平面PAB又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD13.证明 (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平面
9、A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F14.证明：()连接 BC1，则O为B1C与BC1的交点，AO平面BB1C1C. AOB1C
10、， 2分 因为侧面BB1C1C为菱形，BC1B1C，4分BC1平面ABC1，AB平面ABC1，故B1CAB. 6分()作ODBC，垂足为D，连结AD，AOBC，BC平面AOD，又BC平面ABC，平面ABC平面AOD，交线为AD，作OHAD，垂足为H，OH平面ABC. 9分CBB1=60，所以CBB1为等边三角形，又BC=1，可得OD=，由于ACAB1，由 OHAD=ODOA，可得OH=，又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC 的距离为，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 12分另解(等体积法)：CBB1=60，所以CBB1为等边三角形，又BC=1，可得BO=，由于ACAB1，AB=1，AC=，9分则等腰三角形ABC的面积为，设点B1到平面ABC的距离为d，由VB1-ABC=VA-BB1C得，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 12分15.(1)解 如图,由已知ADBC,故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC, 所以ADPD.在RtPDA中,由已知,得AP=AD2+PD2=5,故cosDAP=ADAP=55.所以,异面直线AP与BC所成角
