1、一、 复平面点集的一般概念 二、 区域 三、 平面曲线 一、复平面点集的一般概念 定义1 邻域: 记作:N(z0) N(z0)=z | |z-z0| 记作：N0(z0)=z | 0|z-z0|0: N(z0) =z0 若z0属于 ，但在z0某邻域内除z0外不含的点， 则称z0为G的孤立点 定义 有界集和无界集 有界！ z x y o 如果 内每一点都是它的内点,那么 为开集 定义3 开集与闭集 平面上不属于 的点的全体称为的余集 ； 开集 的余集称为闭集或开集及其边界的并集称为闭集 二、 区域 定义5 区域 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它 为一个区域 (1) D是一个开集； (2) D
2、是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一条 折线连结起来. D加上D的边界称为闭域，记为DD+D z1 z2 D 说明 (2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. (1) 区域都是开的. 以上基 本概念 的图示 区域 邻域 边界点 边界 不包含边界！ (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案(1)有界; (2) (3) (4)无界. 平面曲线C的复数表示: C的实参数方程 C的复参数方程 起点z() 终点z() C C的正向：起点终点 z x y o 三、 平面曲线 定义6 连续曲线 例如：
3、 复数形式为 复数形式为 或 例1求下列方程所表示的曲线: 解 化简后得 没有重点的曲线 C 称为 简单曲线(或Jordan曲线). 重点 重点 重点 换句话说, 简单曲线自身不相交. 定义7 简单曲线 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简 单 闭 简 单 不 闭 不 简 单 闭 不 简 单 不 闭 简单闭曲线的性质约当定理 任意一条简单闭曲 线 C 将复平面唯一地分 成C,I(C),E(C) 三个互 不相交的点集.满足： I(C) E(C ) 边界 （1）I(C) 是一个有界区 域（称为C的内部）. （2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部） . （3）C是I(C),E(C
4、)的公共边界. 定义8 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线. 特 点 （1）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长 定义9 单连通域与多连通域: 复平面上的一个区域D, 如果在其中任作一 条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称为 单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为 多（复）连通域. 单连通域 多连通域 解 无界的单连通域(如图). 例2 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是 无界的,单连通的还是多连通的. 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. 表示到1, 1的距离之 和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. 例3 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域. 是多连通域. 不是区域. 小结与思考 应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界 、区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域.
