1、第三章 导数与微分 3.1 导数的概念 一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的意义 五、可导与连续的关系 六、单侧导数 1 一、问题的提出 1. 直线运动的速度问题 如图, 取极限得 0 瞬时速度 2 2.切线问题割线的极限位置切线位置 播放 3 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线C 在点M处的切线. 极限位置即 4 二、导数的定义 1.定义: 5 其它形式 即 6 关于导数的说明： 7 注意: 2.导函数 8 三、由定义求导数 步骤: 例1 解 9 例2 解 10 例3 解 更一般地: 例如, 11 例4 解 12 例5 解 13
2、四、导数的意义 1.几何意义 切线方程为 法线方程为 14 例6 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为: 所求切线方程为 法线方程为 15 2. 物理意义非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度. 16 五、可导与连续的关系 定理 证 注：连续是可导的必要条件. 17 连续函数不存在导数举例 0 例如, 注意: 该定理的逆定理不成立. 18 01 例如, 19 例如, 0 1 1/1/ 20 21 例8 解 22 2.右导数: 1.左导数: 注： 六、单侧导数 23 24 25 例9 解 26 七、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 27 思考题 28 思考题解答 29 30 31 32 33 练习题答案 34
