1、试卷第 1 页，总 21 页2017 年 -2018 年高考真题解答题专项训练：立体几何（理科）教师版1 （ 2017.上海卷）如图，直三棱柱 的底面为直角三角形，两直角边 AB和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 的长为 5. （ 1）求三棱柱 的体积；（ 2）设 M 是 BC 中点，求直线 与平面 所成角的大小 . 【来源】 2017 年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）试题分析：（ 1）（ 2） ，线面角为2（ 2017 新课标全国理科）如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形， ABD = CBD ， AB=BD（ 1）证明：平面 ACD 平面 A
2、BC；（ 2） 过 AC 的平面交 BD 于点 E， 若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D AE C 的余弦值 .【来源】 2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 3 卷精编版）试题解析： （ 1）由题设可得， ，从而 .又 是直角三角形，所以 .取 AC的中点 O，连接 DO, BO, 则 DO AC, DO=AO.又由于 是正三角形，故 .所以 为二面角 的平面角 .在 中， .又 ，所以 ，故 .试卷第 2 页，总 21 页所以平面 ACD平面 ABC.（ 2）由题设及（ 1）知， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位
3、长，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则.由题设知，四面体 ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的 ，从而 E到平面 ABC的距离为 D到平面 ABC的距离的 ，即 E 为 DB的中点，得 .故 .设 是平面 DAE的法向量，则 ，即可取 .设 是平面 AEC的法向量，则 ，同理可取 .则 .所以二面角 D- AE- C的余弦值为 .3 （ 2017.浙江卷） 如图， 已知四棱锥 P-ABCD， PAD是以 AD为斜边的等腰直角三角形，BC AD， CD AD， PC=AD=2DC=2CB,E为 PD的中点 .（ I ）证明： CE平面 PAB；（ II ）求直线 CE与平面 PBC所成角的
4、正弦值试卷第 3 页，总 21 页【试题解析：（）如图，设 PA中点为 F，连接 EF， FB因为 E， F分别为 PD， PA中点，所以 / /EF AD 且 12EF AD ，又因为 / /BC AD ， 12BC AD ，所以 / /EF BC 且 EF BC ，即四边形 BCEF为平行四边形，所以 / /CE BF ，因此 / /CE 平面 PAB（）分别取 BC， AD的中点为 M， N连接 PN交 EF于点 Q，连接 MQ因为 E， F， N分别是 PD， PA， AD的中点，所以 Q为 EF中点，在平行四边形 BCEF中， MQ/CE由 PAD为等腰直角三角形得 PN AD由 D
5、C AD， N是 AD的中点得 BN AD所以 AD平面 PBN，由 BC/ AD得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN过点 Q作 PB的垂线，垂足为 H，连接 MHMH是 MQ在平面 PBC上的射影，所以 QMH是直线 CE与平面 PBC所成的角设 CD=1在 PCD中，由 PC=2， CD=1， PD= 2 得 CE= 2 ，试卷第 4 页，总 21 页在 PBN中，由 PN=BN=1， PB= 3 得 QH= 14，在 Rt MQH中， QH=14， MQ= 2 ，所以 sin QMH= 28，所以直线 CE与平面 PBC所成角的正弦值是 284 （ 2017.上海卷） 如图
6、， 在四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 为正方形， 平面 PAD平面 ABCD ， 点 M 在线段 PB 上， PD 平面 MAC ， 6PA PD ， 4AB （ 1）求证： M 为 PB 的中点；（ 2）求二面角 B PD A 的大小；（ 3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值试题解析： （ 1）设 AC ， BD 的交点为 E ，连接 ME 因为 PD 平面 MAC ，平面 MAC 平面 PDB ME ，所以 PD ME 因为 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点，所以 M 为 PB 的中点（ 2）取 AD 的中点 O ，连接 OP ， OE 因为 PA P
7、D ，所以 OP AD 又平面 PAD 平面 ABCD ，且 OP 平面 PAD ，所以 OP 平面 ABCD 因为 OE 平面 ABCD ，所以 OP OE 因为 ABCD 是正方形，所以 OE AD 如图，建立空间直角坐标系 O xyz ，则 0,0, 2P ， 2,0,0D ， 2,4,0B ，所以 4, 4,0BD ， 2,0, 2PD 设平面 BDP 的法向量为 , ,n x y z ，则 00n BDn PD，即4 4 02 2 0x yx z试卷第 5 页，总 21 页令 1x ，则 1y ， 2z ，于是 1,1, 2n 平面 PAD 的法向量为 0,1,0p ，所以 1cos
8、 , 2n pn p n p 由题知二面角 B PD A 为锐角，所以它的大小为3（ 3）由题意知 21,2,2M， 2,4,0C ， 23,2,2MC设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 ，则 2 6sin cos ,9n MCn MCn MC所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 2 695 （ 2017.山东卷）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转 120 得到的， G 是 DF 的中点 .（ I ）设 P 是 CE 上的一点，且 AP BE ，求 CBP 的大小 ;（ II ）当 3 2AB AD， 时 , 求二面角
9、E AG C 的大小 .试题解析：试卷第 6 页，总 21 页（）因为 AP BE ， AB BE ，AB ， AP 平面 ABP ， AB AP A ，所以 BE 平面 ABP ，又 BP 平面 ABP ，所以 BE BP ，又 120EBC ，因此 30CBP（）以 B 为坐标原点，分别以 BE ， BP ， BA 所在的直线为 x， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由题意得 0, 0, 3A 2,0,0E ， 1, 3,3G ，1, 3,0C ，故 2,0, 3AE ， 1, 3,0AG ， 2,0,3CG ，设 1 1 1, ,m x y z 是平面 AEG 的一个法
10、向量 .由 00m AEm AG可得 1 11 12 3 0,3 0,x zx y取 1 2z ，可得平面 AEG 的一个法向量 3, 3, 2m . 设 2 2 2, ,n x y z 是平面 ACG 的一个法向量 .由 00n AGn CG可得 2 22 23 0,2 3 0,x yx z取 2 2z ，可得平面 ACG 的一个法向量 3, 3, 2n . 所以 1cos ,2m nm nm n.因此所求的角为 60 .6 （ 2017.新课标 2 卷）如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD是边长为 2 的等边三角形且垂直于底 ABCD ， o1 , 90 ,2AB BC AD BAD
11、 ABC E 是 PD 的中点。试卷第 7 页，总 21 页（ 1）证明：直线 / /CE 平面 PAB ；（ 2） 点 M 在 棱 PC 上 ， 且 直 线 BM 与 底 面 ABCD 所 成 角 为 o45 ， 求 二 面 角M AB D 的余弦值。试题解析： （ 1）取 PA 中点 F ，连结 EF ， BF 因为 E 为 PD 的中点，所以 EF AD , 12EF AD , 由 90BAD ABC 得BC AD ，又 12BC AD所以 EF BC 四边形 BCEF 为平行四边形， CE BF 又 BF PAB平面 ， CE PAB平面 ，故 CE PAB平面（ 2）由已知得 BA
12、AD , 以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则则 0 0 0A ， ， 1 0 0B ， ， 1 1 0C ， ， 0 1 3P ， ，1 0 3PC ， ， , 10 0AB ， ， 则1 , 1 3BM x y z PM x y z， ， ， ，因为 BM与底面 ABCD所成的角为 45，而 0 01n ， ， 是底面 ABCD的法向量，所以试卷第 8 页，总 21 页0cos , sin45BM n ，2 2 2z 221x y z即（ x-1 ） 2+y2- z2=0又 M在棱 PC上，学 | 科网设 ,PM PC 则x , 1, 3 3y z由，得2 2x=1+ x=1-2 2 y=1 y=16 6z z2 2舍去 ，所以 M 2 61- ,12 2， ，从而 2 6AM 1- ,12 2，设 0 0 0x ,y ,zm 是平面 ABM的法向量，则0 0 002- 2 x 2y 6z 0 AM 0 AB 0 x 0mm即所以可取 m=（ 0， - 6 ， 2） . 于是 10, 5m ncosm n m n因此二面角 M-AB-D的余弦值为 1057 （ 2017.天津卷） 如图， 在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC ， 90BAC 点D ， E
