1、第六章 截面的几何性质 静矩和形心 惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 组合截面惯性矩的计算 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 返回 第五节 1 第六章 截面的几何性质 第一节 静矩和形心 一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 和 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分 别为： 静矩为代数值。静矩单位： 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同 一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得： 当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴
2、的 静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心 ，则截面对该轴的静矩为零。 返回下一张 上一张小结 2 二、形心公式： 三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为： 四、组合截面形心公式 ： 例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为、两个矩形，则 若分解为、三个矩形，则 返回下一张 上一张小结 3 第二节 惯性矩和惯性积 一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点的距离平方的乘积2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为： 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算 。
3、 实心圆截面 ： 空心圆截面 ： 二、惯性矩 ： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为： 返回下一张 上一张小结 4 定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。 特点：惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 单位 ： 若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位
4、：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 返回下一张 上一张小结 三、惯性积： 5 例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则 ： 取微面积dA=hdz,则： 例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则 ： 取微面积dA=dzdy，则： 返回下一张 上一张小结 6 第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 一、平行移轴公式： 注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式 ： 返回下一张 上一张小结 7 第四节 主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）使截面对zo、yo
5、轴的惯性积 的这对 正交坐标轴； 特点：两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值； 有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴； 有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； 无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 角，即 形心主惯性轴。 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。 第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。 返回下一张 上一张小结 8 例54:试计算图
6、示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc. (2)计算形心主惯性矩： (z、y轴即形心主轴） 返回下一张 上一张小结 9 小 结 一、静矩 ： 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心 ； 二、极惯性矩： 实心圆截面： 空心圆截面： 三、惯性矩 ： 四、惯性积： 矩形截面： 圆形截面： 几何关系 ： 五、平行移轴公式 ： 返回下一张 上一张小结 10 六、主惯性轴和主惯性矩 ： 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。 主惯性轴（主轴）使 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩； 七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度； 4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。 返回下一张 上一张小结 11
