1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节 隐函数微分法 1 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) ,并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下 ： 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 2 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 在的某邻域内 则 3 目录 上页 下页 返回 结束 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 :则还可求隐函数的 4 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 验证方程在点(0,0)某邻域 可确定
2、一个单值可导隐函数 解: 令 连续 ; 由 定理1 可知, 导的隐函数 则 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求 5 目录 上页 下页 返回 结束 6 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 导数的另一求法 利用隐函数求导 7 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ; 则方程在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 在点 满足: 某一邻域内可唯一确 8 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求偏导 同样可
3、得 则 9 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 解法1 利用隐函数求导 再对 x 求导 10 目录 上页 下页 返回 结束 解法2 利用公式 设 则 两边对 x 求偏导 11 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 解法1 利用偏导数公式. 确定的隐函数,则 已知方程 故 12 目录 上页 下页 返回 结束 对方程两边求微分:解法2 微分法. 13 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比 行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为
4、例 , 即 雅可比 14 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 的单值连续函数 且有偏导数公式 : 在点 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 15 目录 上页 下页 返回 结束 定理证明略. 仅推导偏导 数公式如下 ：16 目录 上页 下页 返回 结束 有隐函数组则 两边对 x 求导得 设方程组 在点P 的某邻域内 解的公式 故得 系数行列式 17 目录 上页 下页 返回 结束 同样可得 18 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 求 由题设 故有 19 目录 上页 下页 返回 结束 练习 设求 20 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 21 目录 上页 下页 返回 结束 习题 分别由下列两式确定 :又函数 有连续的一阶偏导数 ,1. 设 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 解得 因此 22 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是由方程和 所确定的函数 , 求 解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得 23
