1、复合函数初步 复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性 1 我们学过哪些函数？ （5）指数函数y = ax ( a0，且a 1) ，函数的定义域是R . （6）对数函数 ， ( a0，且a 1) ，函数的 定义域是 （7）幂数函数 ， 为常数.(注：我们只研究 =1，2，3，1/2，-1时的情形) 这些函数的图象如何？这些函数的性质怎样？ 2 复合函数： 如果y是u的函数,而u又是x的函数, 即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数 y=fg(x)叫做函数f和g的复合函数,u 叫做中间变量. 注意：若y=f(u)定义域为A，u=g(x)值域为B， 则必须满足B A 3 复合函数的定义域
2、 我们知道函数 的定义域 为_,则f(x+1)的定义域为_.x|-1x1x|-2x0 训练：已知f(x)的定义域是-1,4,求 g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域. (1)已知函数f(x)的定义域为a,b,求 其复合函数fg(x)的定义域应有不等 式ag(x)b解出x即得. 4 (2)已知复合函数y=fg(x)的定义域为 a,b,求原函数y=f(x)的定义域,应 求出y=g(x)的值域(xa,b),即得 y=f(x)的定义域. 我们知道函数 的定义域 为_,则f(x)的定义域为_.x|0x1 x|2x3 训练：已知f(x+1)的定义域是-1,4,求 f(x)的定义域. x0,5 5
3、练习: (1)设函数f(x)的定义域是0,2,求函 数f(x2)的定义域. (2)已知y=f(2x+1)定义域是0,1,求 y=f(x)的定义域. (3).已知f(x2)的定义域是-1,1,求 函数f(x)的定义域. (3) 0,1 6 求下列函数的定义域 7 复合函数的分解 例：将下列函数分解出f(x)和g(x). 8 复合函数的单调性 若 u=g(x) 增函数减函数增函数减函数 y=f(u)增函数减函数减函数增函数 则 y=fg(x) 规律： 当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数 “同增异减” 增函数增函数减函数减函数 9 复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增 函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函 数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个 是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数 y=fg(x)为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。 10 例：求下列函数的单调性. 11 12
