1、相平面法 1 一、相平面法的基本概念 2 3 4 5 0 一族椭圆，自持振荡， 初始条件不同，椭圆大 小也随之变化 0 6 二、相平面图的绘制 1. 解析法 7 - 例7-5 绘制系统相平面图 8 0 9 2. 图解法 10 表示相平面上 相轨迹的斜率 等倾线方程 11 12 即等倾线方程 13 当等倾线为直线时，应用等 倾线 画相平面图是很方便的 。 14 3. 实验法 15 三、奇点和奇线 引入相平面的概念，不仅是求取相轨迹， 而且要通过对相平面的研究，确定系统所有可 能的运动状态及性能。因此需要进一步研究相 平面图的基本特征，从而找出相平面图与系统 的运动状态和性能之间的关系。 系统的相
2、平面图有以下两个基本特征。 奇点奇线 16 17 奇点一定在 轴 上，即速度为零， 加速度也为零。 18 19 有了奇点的一些概念，便可以利用对奇点 的认识较快的画出相轨迹的草图，其步骤为： 1、求出奇点位置； 2、在奇点附近通过线性化判断奇点类型， 并在奇点附近画出相应的相轨迹线； 3、在远离奇点处，用等倾线等方法完成相 轨迹图。 20 -2 0 21 -2 0 22 忽略 23 将相平面分成了两个不同 的区域。故称分隔线 -2 0 非线性系统的运动状态 和性能与初始条件有关 24 25 26 0 从相平面图上看， 稳定极限环把相平面划 分成两个区域。内部的 相轨迹随时间的增加是 发散的，故
3、为不稳定区 ；而外部的相轨迹随时 间的增加收敛于这个极 限环，故为稳定区。 设计时，应尽量减 小这种极限环，以满足 对稳态误差的要求。 27 0 若初始条件在环内，则 系统状态将趋于平衡点 。反之，系统状态将远 离平衡点。所以具有不 稳定极限环的系统，其 平衡状态小范围是稳定 的，大范围是不稳定的 。 设计时，应尽量增大极限环。 28 0 被极限环划分的两区域都不 稳定，因此系统将具有振荡 发散状态。 0 两区域都稳定，因此系统的 运动状态最终将趋于环内平 衡点，不会产生自振荡。 29 0 里面是不稳定极限环， 而外面是稳定极限环。 当系统的初始状态处于 不稳定的极限环的内部 时，系统能稳定工
4、作。 而当初始条件处于不稳 定的极限环的外部时， 则系统将产生自振荡， 这个自振荡由稳定极限 环所决定。 应当指出，对于实际的非线性系统，可能 有极限环，也可能没有极限环，有的系统还可 能有几个极限环。 30 非线性系统的相平面法分析 系统的相平面图是系统微分方程解的 一种几何表示，它与系统的运动状态和性 能有着密切的联系。本节将讨论如何利用 相平面法分析非线性系统。 31 一、用相平面法分析非线性系统 32 例7-8 - 33 0 34 0 35 0 36 0 37 00 38 例7-9 - 39 - 40 0 III 由图可知，这 是一个中心点，系 统将产生周期运动 。注意，这个周期 运动不是自振荡。 41 - 42 0 III 43
