1、1.3.2 杨辉三角 和二项式系数性质 1 复习回顾: 二项式定理及展开式 : 二项式系数 通 项 2 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表: 通过计算填表，你发现了什么？ n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行的系数具有对称性, 除此以外还有什么规律呢?3 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式: 1 7 21 35 35 21 7 1 1 Cn
2、-11 Cn-12 Cn-1k-1 Cn-1k Cn-1n-2 1 4 能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式: 5 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式: 在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距 离的项的系数相等. 在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于 它“肩上”两个数的和. 6 杨辉三角杨辉三角 这样的二项式系 数表，早在我国南 宋数学家杨辉1261
3、 年所著的详解九 章算法一书里就 已经出现了，在这 本书里，记载着类 似下面的表： 7 二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式系 数依次是： 从函数角度看， 可看 成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当n= 6时, 其图象是7个孤立点 f（r） r63O 6 15 20 1 8 1.对称性 与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到 图象的对称轴： 二项式系数的性质二项式系数的性质 f（r） r63O 6 15 20 1 9 2.增减性与最大值 所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质二项式系数的性质 由： 可知，当 时， 二项式系数是逐渐增
4、大 的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 ,且中间项取得最大值。 10 f（r） rnOOn f（r） n为奇数 n为偶数 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值. 当n是奇数时，中间的两项 和 相等, 且同时取得最大值 11 3.各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系 数的和等于 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式 二项式系数的性质二项式系数的性质 12 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： （1） （2） （3）当 时， （4） 当 时， 13 例1.证明:在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数
5、的和 =2n-1 在展开式证明: 得 即 所以 赋值法 即在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和14 课堂练习： 1）已知 ，那么 = ； 2）若 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ； 15 3.在(ab)20展开式中，与第五项的系数相同的项是( ). A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项 C 4.在(ab)10展开式中，系数最大的项是( ). A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项 A 5.在(ab)10展开式中，系数最大的项是( ). A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5
6、项和第7项 D 6.在(ab)11展开式中，系数最大的项是( ). A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项 C 7.在(ab)11展开式中，系数最大的项是( ). A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项 B 16 例2、若 展开式中前三项系数成等差 数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项； （3）展开式中系数最大的项。 17 9.若 的展开式中，所有 奇数项的系数之和为1024，求它的中间项. 解：展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等 由已知可得：2n-1=1024 解得 n=11，有两个中间项分别为 T6=462x-4，T7=462x 8.求二项式(2-3x)10展开式所有项系数的和 18 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区 别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是 中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤 其要理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二 项展开式系数的问题的重要手段。 内容小结内容小结 19
