1、1.3.2“1.3.2“杨辉三角杨辉三角” ” 与二项式系数的性与二项式系数的性 质质 1 温故而知新 1.(a+b)n的二项展开式 是_. 2.通项公式是 _. Tr+1 = 2 5.计算： （1） （2） 3 一般地，对于n N*有二项定理: 一、新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？ 4 1“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角杨辉三角 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15
2、20 15 6 1 5 二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式 系数依次是： 从函数角度看， 可看 成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右 图中的7个孤立点 6 二项式系数的性质二项式系数的性质 2二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到 图象的对称轴： 7 二项式系数的性质二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定 8 二项式系数的性质二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值
3、。 可知，当 时， 9 二项式系数的性质二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。 10 （3）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系 数的和等于： 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式 11 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： （1） （2） （3）当 时， （4） 当 时， 12 课堂练习： 1）已知 ，那么 = ； 2） 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ； 3）若 的展开式中
4、的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ； 13 例1 证明在 的展开式中， 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的 二项式系数的和 14 例2、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + + a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+a7=_ (2)a1+a3+a5+a7 =_ (3)a0+a2+a4+a6 =_ 赋值法 练习: (4)若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + + a200(x-1)200 求a1+a3+a5+a7+a199 的值。 15 例3： 的展开式中第6项与第7项的系 数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最 大的项
5、。 变式引申： 1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项 2、若 展开式中的第6项的系数最大，则不 含x的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416 16 例4、若 展开式中前三项系数成等差 数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项； （3）展开式中系数最大的项。 17 1、已知 的展开式中x3的系数 为 ，则常数a的值是_ 2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ） A.-297 B.-252 C. 297 D. 207 3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是_ 课堂练习 4.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n. 5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值. 18 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区 别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是 中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤 其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关 二项展开式系数的问题的重要手段。 小结小结 19
