1、1 附录I 截面的几何性质 I-1 I-1 截面的静矩和形心的位置截面的静矩和形心的位置 I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积 I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩 2 1.静矩 C x y dA xC x yC y O 2.形心 3.形心与静 矩的关系 图形对某轴的静矩 为零，则该轴一定过图 形的形心；某轴过图形 的形心，则图形对该轴 的静矩为零。 I-1 截面的静矩和形心的位置 3 例I-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐 标yC。 O C r x y dA yC y dy 解：过圆心O作
2、与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条， 所以 4、组合图形的形心与静矩 （1）组合图形的静矩（2）组合图形的形心 4 解：将此图形分别为I、II、III三 部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取 为x轴，则 例I-2 求图示图形的形心。 150 y C x O x1 y1 200 10 yC 300 I II III 10 由于对称知： xC=0 5 1.极惯性矩： 2.惯性矩： 为图形对一点的极惯性矩； x y dA x y r O 3.惯性积： 为图形对x、y一对正交轴的惯性积； 分别为图形对x、y轴 的惯性矩； 4.惯性矩与极惯
3、性矩的关系： 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数， 等于图形对该点的极惯性矩。 I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 6 解：平行x轴取一窄长条， 其面积为dA=bdy，则 惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位： m4、cm4、mm4； 若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正 交轴的惯性积为零； 惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x轴、 y轴、原点的转动惯量。 例I-3 求图示矩形对通过其形心且与边 平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 dy b/2b/2 x y y h/2 h/2 C d
4、A 又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。 同理可得 7 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy 注意到Ip=Ix+Iy，得到 例I-4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径 轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Ip。 d C x y dr r 解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环，其面 积dA=2prdr，则 8 一、平行移轴公式 1.公式推导 2.平行移轴公式 b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是 有正负的。 3.注意： xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴 的惯性矩最小； I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合
5、截面的惯性矩和惯性积 二、组合图形的惯性矩： 9 O x y C dA xC yC a b y x xC yC 已知： 、 、 ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy 10 例I-5 求图示T型截面对形心轴 的惯性矩。 5 30 5 30 例I-6 已知三角形对底边(x1轴)的惯性 矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平 行的x2轴的惯性矩。 b x1 h x2 xC h/3 解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以 不能直接使用平行移轴公式，需先求出三 角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的 惯性矩，即进行两次平行移轴： 11 30 30 5 5 C C2 C1 y2
6、2 1 y1 zC1 zC2 求T形截面对形心轴的惯性矩 先求形心的位置： 取参考坐标系如图，则： 再求截面对形心轴的惯性矩： yC z yC zC 12 一、惯性矩和惯性积的转轴公式 1.公式推导 ：2.转轴公式： 3.注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴 时的a为正。 I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩 13 y1=|AC| dA y1 x1 y1 x1 a y x a D E B A C O x y 已知：Ix、Iy、Ixy、a，求 、 、 。 =|AD|-|EB| =ycosa-xsina 利用三角变换，得到 同理，利用： x1=|OC|=|OE
7、|+|BD|=xcosa+ysina 得到 14 形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩； 2.主轴方位： 利用主轴的定义惯性积等于零进行求解； 主轴与x轴的夹角: 由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂 直的主轴x0、y0； 二、主惯性轴、主惯性矩 1.主轴的相关概念： 主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴； 形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形 心主轴 15 与主轴方位的对应关系：求a0时只取主值|2a0|p/2)， 若IxIy，则由x轴转过a0到达x0轴时，有 ；若IxIy， 则 。注意，a0为正值时应逆时针旋转。 任何具有三个或三个以上对称轴的平面
8、图形，所有形心 轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。 求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以： 图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该 点主轴的两个主惯性矩。 3.主惯性矩大小： 16 120 10 10 10 70 例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩 I II IIII C x y y0 x0 a0 图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标 系xCy如图 将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图 整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为 形心主惯 性矩大小 17 例I-8 求图示正方形对过形 心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。 x y a a C x1 y1 a 解：由于： ， 则 同理 ，
