1、抛物线定义及性质 1 平面内到一个定点F和一条 定直线l的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线。 一、定义 o L F 注：如果定点F在定直线l上，所求的轨迹是？ 定点F 叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线 过定点F垂直于直线l的一条直线 x 2 3 求标准方程 F M l N 如何建立直角坐标系？ 想一想 4 设KF= p 则F（ ，0），l：x = - p 2 p 2 设动点M的坐标为（x，y）， 由定义可知， 化简得 y2 = 2px（p0） x y o F M l N K 过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x 轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直 角坐
2、标系xOy。 5 方程 y2 = 2px（p0）叫做 抛物线的标准方程。抛物线的标准方程。 其中 p p 为正常数，它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离 6 y x o y xo y x o y xo 图 形 焦 点 准 线 标准方程 7 二、抛物线的性质二、抛物线的性质 抛物线抛物线 的几何性质：的几何性质： (p(p0)0) 它在 轴的右边，向右上方 和右下方无限伸展。 1 1、抛物线的范围、抛物线的范围 2 2、抛物线的对称性：、抛物线的对称性： 关于 轴对称 这条对称轴叫抛物线的轴 注意：注意： 抛物线只有一条对称轴； 没有对称中心 . F Ox y 3 3、抛物线的顶点：
3、、抛物线的顶点： 抛物线和轴的交点。原点O（0，0） 4、抛物线的离心率 y2=2px离心率都是 1 8 图 形方程焦点准线 范围 顶点 对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） x0 yR x0 yR y0 xR y 0 xR (0,0) x轴 y轴 1 9 2、通径： 通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P P越大,开
4、口越开阔 3、焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段 叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。 10 例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线. 1、2 、 练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 11 . 例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是F(0,-2)； (2)准线方程是 ； (3)焦点到准线的距离是2. 12 (2)抛物线 上与焦点的距离等于9的点的 坐标是_； 例3 (1)抛物线上一点M到焦点的距离是 ,则点M到准线的距离是_, 点M的横坐标是_. a 13 如图,M点是抛物线 上一点,F是抛物线 的焦点, 以Fx为
5、始边,FM为终边的角 ,求 . 练习2 4 14 15 16 17 18 19 例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程. 分析： 如图可知 原条件等价于M点到F（4，0）和到 x4距离相等， -4 由抛物线的定义，点M的 轨迹是以F（4，0） 为焦点，x4为准线 的抛物线所求方程是 y216x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
