1、第二章 数列极限 2.1 数列极限的概念 2.2 收敛数列的性质 2.3 数列极限存在的条件 1 2.1 数列极限的概念 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法 2 一、概念的引入 引 例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正62n-1边形面积, , . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 3 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世
2、不竭” 4 二、数列的定义 例如 5 注意 ： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 6 数列极限来自实践，它有丰富的实 际背景.我们的祖 先很早就对数列 进行了研究，早在战国时期就有了 极限的概念 例1 战国时代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就 是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程 可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成 一列, 如图所示, 三、数列的极限 7 （c11(k)） 其长度组成的数列为 , 0246810 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 随着n 无限的增加, 木
3、棒的长度无限的趋近于零。 8 例如 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近 于常数a 则常数a称为数列xn的极限 或称数列xn收 敛a 记为 v数列极限的通俗定义 9 三、数列的极限 10 三、数列的极限 11 三、数列的极限 12 三、数列的极限 13 三、数列的极限 14 三、数列的极限 15 三、数列的极限 16 三、数列的极限 17 三、数列的极限 18 三、数列的极限 19 三、数列的极限 20 三、数列的极限 21 三、数列的极限 22 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
4、通过上面演示实验的观察: 23 24 当n无限增大时 xn无限接近于a . 当n无限增大时 |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时 |xna|可以任意小 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后 |xna|能小于事先给定的任意 小的正数. 分析 因此 如果 n 增大到一定程度以后 |xna|能小于事先 给定的任意小的正数 则当n无限增大时 xn无限接近于常 数a. 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近 于常数a 则数列xn收敛a. 下页 25 v数列极限的精确定义 设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正 数 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |N 目
5、的： NO,NO, 有些点在条形域外面！有些点在条形域外面！ 33 N 越来越小，N越来越大！ 34 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 35 分析 : 例1 证明 下页 0, NN 当nN时 有|xna| . 36 利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xna|不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则： 放大后的式子较简单 放大后的式子以0为极限 例 2 证明 证明 37 则当n N时，有 38 例3. 证明 分析，要使 （为简化，限定 n 只要 证. 当 n N 时有 由定
6、义 适当予先限定 nn。是允许的！但最后取 N 时要保证nn。 39 . 例4.证明 （K为正实数） 证：由于 所以对任意0，取N= , 当 nN时, 便有 40 例5 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 寻找N,但不必要求最小的N. 41 例6 证 42 例7 证 43 由上面数列极限的证明可总结出数 列极限证明的步骤： 2 适当放大 ，通常放大成 的形式 ， 求出需要的 1 化简 3 解 w总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等 式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表 达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住
7、主要矛 盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。 44 四 收敛的否定: 数列散 45 五 数列极限的记註: 1 满足条件 “ ”的数列: 。 2 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的 收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性: 46 3 数列极限的等价定: 任正整数 47 六 无穷小数列: w定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个 极限概念，趋向常数0） w 命 1. 的极限n 是无小量. 量有极限 的充要条件它可分解 加一个无小量。 命题2 无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 命题3 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 命题4 48 v 小结 (1), 数列极限的定; (2), 数列极限的几何意; (3), 用数列极限的定明数列极限的方法 . 49
