1、6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 6.4.1 在荷载作用下位移计算的一般公式 当仅考虑荷载作用时，无支座位移项 式中，dq、du和dv是实际状态中由荷载引起的微段ds上 的变形位移，对于弹性结构可由6.1节公式（6-4）进行计 算，只是须注意，该公式中的各内力M、FN、FQ，应具 体采用由实际状态中的荷载引起的内力MP、FNP、FQP。 (a) 1 （6-10） 如果各杆均为直杆，则可用dx代替ds，即 （6-11） MP、FNP、FQP实际荷载引起的内力； 、 、 虚设单位荷载引起的内力。 平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式 6.4.1 在荷载作用下位移计算的一般公式 2 关于内力
2、的正负号可规定如下： 轴力FNP、以拉力为正； 6.4.1 在荷载作用下位移计算的一般公式 剪力FQP、以使微段顺时针转动者为正； 弯矩MP、 只规定乘积 的正负号。 当 与MP使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。 3 6.4.2 各类结构的位移公式 1、梁和刚架 在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和 剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为 （6-12） 4 2、桁架 在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力， 而且每根杆的截面面积A以及轴力和FNP沿杆长一 般都是常数，因此，位移公式可简化为 （6-13） 5 3、桁梁组合结构 在桁梁组合结构中，梁式杆主要受弯曲，桁杆只 受轴力，因此位
3、移公式可简化为 （6-14） 6 4、拱 计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响，即可按式（6 -12）计算。但当拱轴线与压力线比较接近（即两者的距 离与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平拱（f / l1/5）中的水平位移时，则还需要考虑轴向变形的影响 ，即有 （6-15） 而像拱坝一类的厚度较大的拱形结构，剪切变形的影响 则需一并考虑。 本节中所列出的在荷载作用下的位移计算公式，不仅 适用于静定结构，也同样适用于超静定结构。 7 6.4.3 单位荷载法的计算步骤 1）列写在实际荷载作用下的MP的表达式（或作出 荷载弯矩图MP图）； 2）加相应的单位荷载，列写 的表达式（或作出 单位弯矩图
4、 图）； 3）计算位移值：将 和MP代入公式（6-12），求 出拟求位移D。注意：须在计算所得的位移值后，加 圆括号，注明实际方向 8 【例6-1】试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面C的竖向位 移（即挠度）DCV。已知EI=常数。 解：(1)列写在实际荷载作用下的MP的表达式 建立x坐标，如图6-9a所示 。当0xl时，有 AB CK q l x ql/2ql/2 ql2/8 ABCK MP图 9 (2)列写在虚单位荷载作用下的的表达式 根据拟求DCV，在点C加一竖 向单位荷载，作为虚拟状态 ，如图6-9b所示。当0xl/2 时，有 A A B B C C K K x l/2 l/4 1/
5、21/2 1 图 10 计算结果为正，说明点C竖向位移的方向与虚拟单位 荷载的方向相同，即向下。 (3)计算位移值 11 【例6-2】试求图示简支刚架点D的水平位移DDH。已知EI=常数 。 解： FP AB CD l l x x A B C D FPl FPl FPx MP=FPx MP图 AB CD 1 l l 12 例6-3】试求图示简支曲梁点A的水平位移DAH。已知EI=常 数。 解：(1)列写在实际荷载作用下的MP的表达式 当0xa时， 当axl时， AA BB f l al-a C D x y FPFP DK1 K2 x xl-x (0xa) (axl) 13 (2)列写在虚单位荷
6、载作用下的的表达式 当0xl时， (3)计算位移值 AB x y 1 1 14 【例6-4】试求图示体系中A1与A2截面水平相对错动的位移 。已知EI、EA、GA均为常数。 解： (1)列写在实际荷载作用下的MP、FNP和FQP的表达式 A1 A2 FP K ds O R j dj O R j A1 FP K MPFNP FQP 15 A1 A2 1 K ds O R j dj O R j A1 1 K (2)列写在虚单位荷载作用下的 、 和 的表达式 16 (3)计算位移值 17 为了比较弯矩、轴力及剪力对位移的影响，设截面为圆形 截面，A=pr2；r=R/10；m=10/9，E=2.5G；
7、I= pr4/4。代入 最后计算式，求得 由此可见：轴向力及剪力对该位移的影响还不到弯矩 影响的1%。因此，在计算位移时，可只考虑弯矩的 影响而采用式（6-12）计算。 18 解：(1)计算在实际荷载作用下各杆的轴力FNP (2)在点A加水平单位荷载，求各杆的轴力 (3)在点A加竖向单位荷载，求各杆的轴力 【例6-5】试求图示桁架结点A的水平位移DAH及垂直位移DAV。 A FP -FP FP FP a a A 1 1 A 1 1 1 -1 19 (4)计算位移值 A FP -FP FP FP a a A 1 1 A 1 1 1 -1 20 【例6-6】试求图示组合结构点A的水平位移DAH及竖
8、向位移DAV 。已知EI、EA均为常数。 解：(1)求实际荷载作用下梁式杆的MP图和桁杆的FNP A B CD FP aa a x EI EA EA FP A B C DK FP 21 (3)根据拟求位移DAV，在点A加竖向单位荷载，并求出梁式杆 的 图和桁杆的 A B CD FP aa a x EI EA EA FP A B C DK FP A B CDK aa 1 1 1 (2)根据拟求位移DAH，在点A加水平单位荷载，并求出梁式杆 的 图和桁杆的 A B C DK 1 2a a 1 22 (4)计算位移值 FP A B C DK FP A B CDK aa 1 1 1 A B C DK 1 2a a 1 23
