1、 第十章 曲线积分与曲面积 分 curvilinear integral and surface integral 1 问题的提出 对弧长的曲线积分的概念 几何意义与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 小结 思考题 作业 arc length 第一节 对弧长的曲线积分 第十章 曲线积分与曲面积分 2 一、问题的提出 实例 匀质之质量 分割 求和 取极限 取近似 曲线形构件的质量 近似值 精确值 对弧长的曲线积分 3 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, 在L上有界. 作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 对弧长的曲线积分 在L上任意插入一点列 把L分成n
2、个小段.设第i个小段的 第i个小段上任意取定的 长度为 一点, 4 曲线形构件的质量 即 这和的极限存在, 则称此极限为 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分或 第一类曲线积分. 积分和式 被积函数 弧元素 积分弧段 记作 对弧长的曲线积分 5 2. 存在条件 3. 推广 对弧长的曲线积分 连续, 对弧长的曲线积分为 对弧长的曲线积分 6 注意 闭曲线L上对弧长的曲线积分 记作 (对路径具有可加性) 对弧长的曲线积分 7 4. 性质 (1) (2) (3) 与积分路径的方向无关, 即 对弧长的曲线积分 8 在一条光滑(或分段光滑)的 是L上关于x 的奇函数 是L上关于x 的偶函数 L1是曲线L落在y
3、 轴一侧的部分. 在分析问题和算题时常用的 L关于y轴 对称, 补充对称性质 曲线L上连续, 则 当 (或y) (或y)当 (或x轴) (或x) 运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时, 应同时考虑被积函数 与积 分曲线L的对称性. 对弧长的曲线积分 9 例其中L是圆周 解 因积分曲线L关于 被积函数x是L上 被积函数 因积分曲线L关于 对称性, 计算 得 是L上 y轴对称, 关于x的奇函数 x轴对称, 关于y的奇函数 对弧长的曲线积分 10 三、对弧长曲线积分的计算 定理 其中 且 有定义且连续, 具有一阶连续导数, 解法 化为参变量的定积分计算 对弧长的曲线积分 注意对弧长的曲线积分要求
4、定积分的下限一定要小于上限 11 特殊情形 (1) 对弧长的曲线积分 (2) 12 (3) 对弧长的曲线积分 特殊情形 推广 13 或 此时需把它化为参数方程 再按上述方法计算. 对弧长的曲线积分 为参数), 14 例 解 例 解 对x积分? 对弧长的曲线积分 15 例 解 对弧长的曲线积分 得 16 解此题时也可用 故 对弧长的曲线积分 对称性质 17 在第一象限中所围图形的边界. 提示 解 对弧长的曲线积分 18 故 对弧长的曲线积分 19 几何意义 (1) (2) 对弧长的曲线积分 四、几何意义与物理意义 柱面面积 弧长 20 1989年研究生考题, 填空(3分) 解 设下半圆周的参数方
5、程 则 对弧长的曲线积分 通过几何直观,还有更简单的方法吗? 21 例 解 由于 有 对弧长的曲线积分 的方程中的x, y, z的地位完全对称, 22 1988年研究生考题,填空(3分) 解 对称性 对弧长的曲线积分 23 物理意义 对弧长的曲线积分 24 对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式 对弧长曲线积分的应用 对弧长的曲线积分 五、小结 (四步:分割、取近似、求和、取极限） (弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式) (曲线的质量、质心、转动惯量) 25 思考题 是非题 对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为 定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较 小端点的参数值,上限为较大端点的参数值. 是 对弧长的曲线积分 26 作 业 习题10-1 (131页) 3. (1) (3) (5) (7) 4. 5. 对弧长的曲线积分 27
