1、第一讲 极限和连续一、 极限的定义：数列定义、函数定义。（略）例1：证明。证明：取，我们有 （1） 因为，所以由夹逼准则可得。 对任取的，当充分小时，由（1）可得可以成立，又因为，所以存在，当有 此时有 由此可得。二、 极限的计算方法：1）代入法（利用函数的连续性）；2）单调有界准则和夹逼准则；3）两个重要极限：；4）极限的四则运算法则；5）有界量与无穷小的积还是无穷小；6）等价无穷小的替换：时， ；7）复合函数求极限法则：条件，则有 ；8）洛必达法则；9）利用泰勒公式求极限；10）利用定积分的定义计算极限；11）利用级数的一些结果计算极限；12）海涅归结原则：（利用它可以把一些数列问题化为函
2、数极限问题）；定理1：1、函数极限的充要条件是：对任何数列，若，则有；2、函数极限的充要条件是：对任何数列，若，则有。13）施托尔茨（Stolz）定理（数列极限的洛必达法则）；定理2：设数列单调增加且，如果存在或为，则有 。证明：设，则对任给的，存在正整数，当时恒有 由于数列单调增加，所以有 由此可得 又因为 由于，所以存在，当时有，并且有，所以当时有 由此即得。的情形类似证明。例2：证明极限的平均值定理 1、设存在或为，则有； 2、设，且存在或为，则有 证明：利用施托尔茨定理证明 1、 2、因为，所以 。例3：设，证明数列收敛于。证明：由极限与无穷小的关系，存在数列且有，使得， 由例1可得，
3、由可得数列有界，即存在有；由可得，再由例1得，由于 所以有再利用极限与无穷的关系得。例4：设数列有界，对任给的总有，证明存在。证明：由于及有界，由单调有界准则，数列收敛，再由及有界可得数列是收敛的。又因为分别是的子列，分别是的子列，所以，即有存在。例5：设，数列，证明极限。证明：考虑函数，可得。当时，即函数是单调递减的，所以当时有 又因为时有，由即可得 ， 由单调有界准则存在，无妨设，则有 例6：设，求极限。解：由可得 所以有。例7：设是正数，它们的和为1。定义数列 证明：当时，三个数列的极限都存在，并求出极限。证明：因为，所以我们有 （1） 由此可得数列都是有界数列，设的最大值与最小值分别为
4、，则数列也是有界数列，又因为 所以有，由单调有界准则存在。由于 同理可得，因此有 再根据可得。因为 由夹逼准则可得，利用（1）可得 例8：证明数列收敛，并求其极限。解：设此数列为，则有，容易看出，如果极限存在设，则有 由于有一个实根在3和4之间，所以有。考虑函数， 利用拉格朗日中值定理 其中在之间，由此我们有 由夹逼准则得。三、 连续函数及其性质1）闭区间上连续函数的性质：最大值最小值定理；零点定理；介值定理。2）一致收敛与一致连续定义1：对于函数列和常数，如果对任给的，存在，当时，对于任意的恒有 则称在上一致收敛于。定义2：对于函数，如果对任给的，存在，对于任意的，当时恒有 则称在上一致连续
5、。例9：设在上连续，且，对于任给的恒有 证明：。证明：由于或，如果则有，这与已知矛盾，所以。对于任意正有理数为正整数有 若是负有理数，则如果是无理数，则存在有理数列使得 例10：设在闭区间上连续，。证明：对于任给的正整数，总存在使得。证明：对于任给的正整数，因为，所以 如果存在，则取即可；如果，则一定存在 无妨设，函数在上连续，且，由零点定理可得，存在有，即 例11：计算极限。解：设，则原式 。四、 练习题1）设是正整数，计算。2）设，证明数列极限都存在且相等。3）求极限。4）某短跑选手再一次百米赛跑时的成绩刚好是10秒，有人说此选手在比赛过程中的某个一秒钟内刚好跑了10米，这个说法正确吗?说明自己的理由。5）设在闭区间上连续，并有数列，使得，证明存在一点使得。第9页（共9页）
