1、2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 【知提】 1.数列的前n和 (1)定：于数列an，一般地，称_ 数列an的前n和. (2)表示：常用符号Sn表示，即Sn=_. a1+a2+a3+an a1+a2+a3+an 2.等差数列的前n项和公式 用条件公 式 首、末与数 _ 首、公差与数 _ 【即小】 1.思考下列 (1)若数列an的前n和Sn，a1与S1有什么关系？ 提示：a1=S1. (2)等差数列an的前n和公式(包含首、公差和 数)是关于n的二次函数？ 提示：不一定.当d0时，Sn=na1+ d= n2+ (a1- )n是关于n的二次函数；当d=0时，Sn=na1=a1
2、n是 关于n的一次函数. 2.若数列an的前n和Sn=n2+2，a10的 ( ) A.19 B.20 C.100 D.102 【解析】选A.a10=S10-S9=(102+2)-(92+2)=19. 3.等差数列an中首a1=1，公差d=-2，前10的 和S10=( ) A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 【解析】选D.S10=101+ (-2)=-80. 4.等差数列an中，若a1=-2，a9=12，S9=_. 【解析】S9= =45. 答案：45 5.2+6+10+14+(4n+2)+(4n+6)=_ 【解析】数列2，6，10，14，4n+2，4n+6是首项 为2，公差为4的等
3、差数列，共有n+2项. 所以原式= =2n2+8n+8. 答案：2n2+8n+8 【知识探究】 知点1 等差数列的前n和公式 察形，回答下列 ： 问题1：等差数列前n项和公式的两种形式中，一共涉 及哪几个量？怎样由已知量求未知量？ 问题2：等差数列前n项和公式的两种形式分别适合在 什么情况下使用？ 【 提升】 1.等差数列前n和公式的构 2.等差数列前n和公式的特点 (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它 分表示等差数列的首，公差，数，通和前 n和. (2)依据方程的思想，在等差数列前n和公式中已知 其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”. (3)当已知首、末和数，用Sn
4、= 便；当已知首、公差和数，用Sn=na1+ 好. 知点2 数列的通an与前n和Sn的关系 察如所示内容，回答下列 ： 1：当n2，数列an的前n和Sn与an有怎 的关系？ 2：数列的通公式何采用分段形式？ 【 提升】 1.an与Sn的关系 当n2，有Sn=a1+a2+a3+an，Sn-1=a1+a2+a3+ an-1，所以Sn-Sn-1=an. 当n=1，a1=S1. 上可知，an= 2.an与Sn的关系的两点明 (1)一关系任何数列都适用. (2)若由an=Sn-Sn-1(n2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求 得的a1相同， 明an=Sn-Sn-1(n2)也适合n=1的情况 ，数列的
5、通公式用an=Sn-Sn-1表示. 若由an=Sn-Sn-1(n2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的 a1不相同， 明an=Sn-Sn-1(n2)不适合n=1的情况， 数列的通公式采用分段形式即an= 【题型探究】 型一 等差数列前n和的有关算 【典例】1.(2015全国卷)Sn是等差数列an的 前n和，若a1+a3+a5=3，S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 2.(2015安徽高考)已知数列an中，a1=1，an=an-1 + (n2)，数列an的前9和等于_. 3.根据下列条件，求相的等差数列an的有关未知 数： (1)d= ，an= ，Sn=- ，求a1及n. (2
6、)a1= ，a15=- ，Sn=-5，求n和d. 【解探究】1.典例1中，了化算可以利用等 差数列的什么性？ 提示：利用等差数列的性质得2a3=a1+a5，所以S5=5a3， 即可求解. 2.典例2中，数列an是等差数列？若是，其首和 公差分是什么？ 提示：数列an为等差数列，其首项为1，公差为 . 3.典例3中，解的依据是什么？用到什么数学思想？ 提示：依据是以下三个公式an=a1+(n-1)d， Sn= ，Sn=na1+ d.解题基本思想是方程的 思想. 【解析】1.选A.因为a1+a3+a5=3a3=3， 所以a3=1，所以S5= =5a3=5. 2.当n2时，an=an-1+ 且a2=
7、a1+ ，所以an是首项 为1，公差是 的等差数列，所以S9=91+ = 9+18=27. 答案：27 3.(1)方法一：由题意得 由得a1=2- ，代入整理得 n2-7n-30=0解得n=10或n=-3(舍去)， 所以a1=2- =-3. 方法二：a1=an-(n-1)d = -(n-1) =2- ， 所以Sn= 整理得n2-7n-30=0，下同方法一. (2)因为a15= +(15-1)d=- ， 所以d=- .又Sn=na1+ d=-5， 解得n=15，或n=-4(舍). 【方法技巧】等差数列中基本算的两个技巧 (1)利用基本量求. (2)利用等差数列的性质解题. 【式 】1.在等差数列
8、an中，其前n和Sn， 且S2 011=2 011，a1 007=-3，S2 012=_. 【解析】因为S2 011=2 011， 所以 =2 011. 所以a1+a2 011=2. 又因为a1+a2 011=2a1 006，所以a1 006=1. 又因为a1 007=-3， 所以S2 012= 答案：-2 012 2.在等差数列an中， (1)已知a5+a10=58，a4+a9=50，求S10. (2)已知S7=42，Sn=510，an-3=45，求n. 【解析】 (1)方法一：由已知条件得 解得 S10=10a1+ d=103+454=210. 方法二： 所以a1+a10=42， 所以S1
9、0= =542=210. (2)S7= =7a4=42，所以a4=6. Sn= =510， 所以n=20. 型二 an与Sn关系的用 【典例】数列an的各都正数，且足Sn= (nN*)，求数列an的通公式. 【解探究】本例中如何消去Sn？消去Sn后，求an 整理何种形式？ 提示：先根据Sn= 得出4Sn+1=(an+1+1)2，然后作 差消去Sn.应整理为an+1-an=f(n)或 =g(n)的形式. 【解析】由Sn= 得4Sn=(an+1)2 所以4Sn+1=(an+1+1)2 -得4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2， 4an+1= +2an+1- -2an， ( - )
10、-2(an+1+an)=0， (an+1+an)(an+1-an-2)=0， 因为an0，所以an+1-an=2， 又4S1=4a1=(a1+1)2得a1=1， 故an是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以an=2n-1. 【延伸探究】1.( 条件)本例中的条件Sn= 改log2(Sn+1)=n+1，其他条件不，果又如何？ 【解析】因为log2(Sn+1)=n+1， 所以Sn=2n+1-1， 当n2时，an=Sn-Sn-1 =(2n+1-1)-(2n-1)=2n， 当n=1时，a1=S1=22-1=3不适合上式， 所以an= 2.(改 法)本例条件不， 明数列 是等差 数列. 【证明】由已知
11、得 2 =an+1，所以2 =Sn-Sn-1+1(n2)， 化简可得( -1)2=Sn-1， ( + -1)( - -1)=0， 又S1=1，an的各项都为正数， 所以 - =1(n2)， 所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列. 3.( 条件、改 法)本例条件Sn= 改 Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0，其他条件不，求： 数列an是等差数列. 【证明】因为Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0，nN*， 所以令n=1得S12-(-1)S1-6=0， 即a12+a1-6=0，解得a1=2或a1=-3， 由于数列an各项为正数，所以a1=2. 由Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0， 因式分解得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0， 由数列an各项为正数可得Sn （水冷螺杆机组） 项目名称： 项目地址： 业主单位(甲方)： 服务单位（乙方）： 签订日期： 年 月 日 空调维护保养合同甲方： 乙方：就 店中央空调系统的维护保养工作，由甲方委托乙方完成，乙方需确保系统的安全节能运行，根据中华人民共和国合同法，经过双方友好协商，同意签订本养合同，合同条款如下：一、 项目信息项目名称： 。服务范围 ：
