1、数系的扩展与双数全章复习与稳定编稿：李霞审稿：张林娟【深造目标】1.理解引进双数的需要性，理解数集的扩展过程；2.理解在数系的扩展中由实数集扩展到双数集出现的一些全然不雅念；理解双数相当的充要条件；3.理解双数的代数表示法及其几多何意思；4.操纵停顿双数代数方法的四那么运算法那么，理解双数代数方法的加法、减法运算的几多何意思.留心在差异数汇合运算法那么的联系跟区不.【知识搜集】【要点梳理】要点一：双数的全然知识1、虚数单位，规那么它的平方等于，即.可与实数停顿四那么运算，停顿四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成破.2、形如的数叫做双数，记作：；当b=0时，是实数；当b0时，叫做虚数；当a=0且
2、b0时，叫做纯虚数.3、两个双数相当的充要条件：假设，那么.4、双数的几多何意思：双数复破体内的点破体向量5、双数的模：设，那么向量的长度叫做双数的模，记作.即.要点说明：1的周期性：假设nN，那么有：，；2双数的共轭双数，记为；3.要点二：双数的运算设，那么：要点说明：1设，那么，(nN+)等；2双数求解打算时，要敏锐使用i、的性质，或适当变形，制作条件，从而转化为关于i、的打算征询题比如；3作双数除法运算时，有如下技艺：【模典范题】典范一：双数的不雅念及运算例1.化简以下式子：1；2【分析】1；2【总结升华】敏锐使用及的特征停顿打算举一反三：【变式1】i是虚数单位，打算()A-lB1C-i
3、Di【答案】A【变式2】双数等于()AiB-iC1D-1【答案】D【分析】【变式3】已经清楚双数，那么_【答案】-2i例2.已经清楚，(aR)分错误应向量，O为原点，假设向量所对应的双数为纯虚数，求a的值【分析】设向量对应的双数为z，z为纯虚数，即【总结升华】讨论双数z为实数、虚数、纯虚数、非纯虚数应从定义入手举一反三：【变式1】设(其中表示z1的共轭双数)，已经清楚z2的实部是-1，那么z2的虚部为_【答案】1【分析】，由双数相当得【变式2】设a，b为实数，假设双数，那么()A，Ba3，blC，Da1，b3【答案】A【分析】应选A典范二：双数的几多何意思例3.已经清楚双数，它们在复破体上的对
4、应点是一个正方形的三个顶点，求谁人正方形的第四个顶点对应的双数【分析】设双数、所对应的点分不为A、B、C，正方形的第四个点D对应的双数为(x，yR)，对应的双数为，对应的双数为，即解得点D对应的双数为【总结升华】此题要紧调查双数的几多何意思使用，求点D对应的双数，也可使用原点O偏偏是正方形ABCD的中心来解举一反三：【变式】已经清楚复破体上的ABCD中，对应的双数为6+8i，对应的双数为-4+6i，求向量对应的双数【答案】如以下列图，ABCD中，设对角线AC、BD的交点为E，那么点E为AC、BD的中点，由双数加减法的几多何意思可得因而对应的双数为，因而向量对应的双数为例4.双数且，z对应的点在
5、第一象限，假设双数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，务虚数a，b的值【分析】由，得双数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，把代入上式化简得|b|1又z对应的点在第一象限.a0，b0由得故所求值为，【总结升华】要判定实数a，b的值，需列出含a，b的两个方程条件|z|4易应用；关于正三角形谁人条件，应用方法较多，此题转化为边长相当，即举一反三：【变式1】双数在复破体上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】双数z在复破体内的对应点为，在第一象限应选A【变式2】假设i为虚数单位，图中复破体内点Z表示双数z，那么表示双数的点是()AEBFCGDH【答案】D【分析
6、】由题中图示可知，再结合题中图见知点H表示2-i，应选D典范三：双数与方程例5.已经清楚2+ai，b+i是实系数一元二次方程的两根，求p，q.Ap-4，q5Bp4，q5Cp4，q-5Dp-4，q-5【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭双数来解题.【分析】因为2+ai，b+i)是实系数一元二次方程的两个根，因而2+ai与b+i互为共轭双数，因而a-1，b2，因而实系数一元二次方程的两个根是2i，因而p-(2+i)+(2-i)-4，q(2+i)(2-i)5【总结升华】此题调查实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭双数的特征，以及根与系数的关系举一反三：【变式】在双数汇合解方程.【答案】，原方程的根为.例6.已经清楚ZC，解方程【思路点拨】此题介绍对的熟练应用，来求得.【分析】，把方程变形为，单方取模得拾掇得解得或将其代入得或z-1或z-1+3i【总结升华】关于含的方程，全然解法：1设(x，yR)，使用双数相当的条件求x，y；2假设由1艰辛，那么看能否能求出，然后代回去再解.此题可以也可以用方法求解.举一反三：【变式】已经清楚ZC，解方程【答案】令(x，yR)，那么原方程化为：，由双数相当的条件有解得或原方程的解为，.
