1、第七节方导游数与梯度散布图示引例数目场与向量场的观点方导游数的观点例1例2例3例4例5梯度的观点例6例7例8梯度的运算性子及使用例9例10等高线及其画法内容小结讲堂训练习题97前往内容要点一、场的观点：数目场向量场波动场不波动场二、方导游数定理1假如函数在点是可微分的，那么函数在该点沿任一偏向l的方导游数都存在，且7.1此中为x轴正向到偏向l的转角图8-7-2.三、梯度的观点：函数在某点的梯度是如此一个向量,它的偏向与获得最小气导游数的偏向分歧,而它的模为方导游数的最年夜值.梯度运算满意以下运算法那么：设可微，为常数，那么1gradgradgrad;2gradgradgrad;3gradgra
2、d.四、等高线的观点例题选讲方导游数例1E01求函数在点处沿从点到点的偏向的方导游数.解这里偏向即为故轴到偏向的转角所求方导游数例2求函数在点沿与轴偏向夹角为的偏向射线的方导游数.并咨询在怎么样的偏向上此方导游数有(1)最年夜值;(2)最小值;(3)即是零?解由方导游数的盘算公式知故(1)事先，方导游数到达最年夜值(2)事先，方导游数到达最小值(3)当跟时，方导游数即是0.例3E02求函数在点A(1,0,1)处沿点A指向点偏向的方导游数.解这里为的偏向,向量的偏向余弦为又因此因此例4求在点沿偏向的方导游数,此中的偏向角分不为60,45,60.解与同向的单元向量由于函数可微分,且故例5E03设曲
3、直面在处的指向外侧的法向量，求函数在此处偏向的方导游数.解令故偏向余弦为因此例6E04(1)求(2)设,求.解(1)这里由于因此(2)因此例7求函数在点处的梯度,并咨询在哪些点处梯度为零?解由梯度盘算公式得故在处梯度为例8E05求函数在点处沿哪个偏向的方导游数最年夜？最年夜值是几多.解由得从而因此在点处沿偏向的方导游数最年夜,最年夜值是例9E07设为可微函数,求解由上述公式(3)知gradgrad由于因此grad注:应用处得观点，咱们能够说向量函数grad断定了一个向量场梯度场，它是由数目场发生的.平日称函数为那个向量场的势，而那个向量场又称为势场.必需留意，恣意一个向量场不必定势势场，由于它不必定是某个数目函数的梯度场.例10E06试求数目场合发生的梯度场,此中常数为原点O与点间的间隔.解同理从而假如用表现与同偏向的单元向量,那么上式右端在力学上可剖析为,位于原点而品质为的质点对位于点而品质为1的质点的引力.该引力的巨细与两质点的品质的乘积成正比、而与它们的间隔平方成正比,该引力的偏向由点指向原点.讲堂训练1.函数在点处的偏导数能否存在?方导游数能否存在?2.求函数在点处沿P点的向径偏向的方导游数.
