1、 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（江西卷）第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每个小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。1.已知（x+i） （1-i）=y，则实数 x，y 分别为（ ）A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2C. x=1，y=1 D. x=1，y=2【答案】 D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得 ，没有虚2()(1xixiy部，x=1,y=2.2.若集合 ， ，则 =（ ）A=|1xR， 2B=|yxR， ABA. B. 0C. D. |0【答案
2、】 C【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B；， ,解得 。在应试中可采用特值检|1Ax|0ByAB=x|01I验完成。3.不等式 2x的解集是（ ）A. B. C. D. (0)， (0)， (2)， (0)（ -， ） ，【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. ，解得 A。2x或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。4. 211lim3nxL（ ）A. 5B. C. 2 D. 不存在【答案】B 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。
3、13lim()2nn5.等比数列 中， ， =4，函数 ，则na18a128()()fxaxaL（ ）0fA B. C. D. 629215【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则 只与函数 的一次ffx项有关；得： 。41212381()aaL6. 展开式中不含 项的系数的和为（ ）82x4xA.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去 项系数 即为所求，4
4、x802(1)C答案为 0.7.E，F 是等腰直角ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 （ ）tanEFA. 1627B. 3 C. D. 34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法 1：约定 AB=6,AC=BC= ,由余弦定理 CE=CF= ,再由余210弦定理得 ，4cos5ECF解得 3tan解法 2：坐标化。约定 AB=6,AC=BC= ,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式32得，解得 。4cos5ECFtan4ECF 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 8.直线 与圆 相交于 M,N 两点，若 ，则 k 的3ykx224y23M
5、N取值范围是A. 04，B. 30U， ，C. 3，D. 0，【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法 1：圆心的坐标为（3.，2） ，且圆与 y 轴相切.当，由点到直线距离公式，解得 ；|MN|3时 3,04解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取 ，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A 9给出下列三个命题：函数 与 是同一函数；1cosln2xylnta2xy若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数fgyx与 的图像也关于直线 对称；yfx12yx若奇函数 对定义域内任意 x 都有 ，则 为周期函数。
6、f (2)ffxf其中真命题是A. B. C. D. 【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除 A、B，验证, ,又通过奇函数得 ，所2()(2)fxfxf()fxf以 f（x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。10.过正方体 的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱 , ,1CDBABD所成的角都相等，这样的直线 L 可以作1AA.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1， 第二类：在图形外部和每条
7、棱的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 和 ，则1p2A. = B. D。以上三种情况都有可能1p21p21p2【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为 10，总概率为 ；
8、同理，方法二：每箱的选中的概率为 ，总事件的概率0101(.)9C 15为 ，作差得 ,分别经过三条棱 ， ， 作一个截面平分三A棱锥的体积，截面面积依次为 ， ， ，则 ， ， 的大小关1S231S23系为 。【答案】 321S【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为 1，2，3 得 。321S三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）已知函数21cotsinisin4fxxmx。 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ (1) 当 m=0 时，求 在区间 上
9、的取值范围；fx384，(2) 当 时， ，求 m 的值。tan25fa【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当 m=0 时，22cos 1cos2in()insiinsx xfxxx，由已知 ，得i(1243,84,1从而得： 的值域为()fx20,（2） 2cos1insi()sin()4fxmx化简得： 1()(1)co2x当 ，得： ， ，tan22sitasinn5a3cos2a代入上式，m=-2.18. （本小题满分 12 分）某迷宫有三个通道，进
10、入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 表示走出迷宫所需的时间。（1） 求 的分布列；（2） 求 的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1） 必须要走到 1 号门才能走出， 可能的取值为 1，3，4，6， ， ，()3P()326P()2P 中国校长网
11、中国校长网资源频道 http:/ 21(6)()3PA分布列为：（2） 小时11734632E19. （本小题满分 12 分）设函数 。ln2(0)fxxa（1）当 a=1 时，求 的单调区间。f（2 ）若 在 上的最大值为 ，求 a 的值。fx01， 12【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解：对函数求导得： ，定义域为（0，2）()fxx（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当 a=1 时，令21()0+=02fxxx 得 （ ）当 为增区间；当 为减函数。(0,2,xf(),(,f，（2） 区间 上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比
12、较得到，1，确定待定量 a 的值。当 有最大值，则必不为减函数，且 0，为单调递增区0x， 1()2fxax间。最大值在右端点取到。 。max1()2f20. （本小题满分 12 分）如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD 平面BCD，AB 平面 BCD， 。3AB（1） 求点 A 到平面 MBC 的距离；1 3 4 6P 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （2） 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力
13、和推理能力解法一：（1）取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OMCD.又平面 平面 ,则 MO平面 ，所以MCDBBCDMOAB，A 、B、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E，则AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.OB= MO= ，MOAB，MO/面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作3OH BC 于 H，连 MH，则 MH BC，求得：OH=OCsin600= ,MH= ,利用体积相等得： 。215 215ABCMAVd（2）CE 是平面 与平面 的交线.ACBD由（1）知，O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形.作 BFEC 于 F，连 AF
14、，则 AFEC，AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 .因为BCE=120 ，所以BCF=60. ，sin603Bo，ta2AF5i所以，所求二面角的正弦值是 .2【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二：取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OMCD，又平面 平面MCD,则 MO 平面 .BCDBC以 O 为原点，直线 OC、BO、OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM= ，则各点坐标分别为 O（0，0，0） ，C （1， 0，0） ，3M（0， 0， ） ，B（0，- ，0） ，
15、A（0，- ，2 ） ，3（1）设 是平面 MBC 的法向量，则 ，(,)nxyzr B=(,)ur yx M DCBOA 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ ，由 得 ；由 得 ；取(0,3)BMurnBCru30xynBMru30yz，则距离1(0,2)nA5dr（2） ， .(1,03)CMur(1,32)Cur设平面 ACM 的法向量为 ，由 得 .解得1,)nxyz1nCMAur302xzy， ，取 .又平面 BCD 的法向量为 ，则3xzy1(3,ur (,1)r11cos,5nurr设所求二面角为 ，则 .215si()【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越
16、来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎21. （本小题满分 12 分）设椭圆21:(0)xyCab，抛物线22:Cxby。（1） 若 经过 的两个焦点，求 的离心率；211（2） 设 A（0，b） ， ,又 M、N 为 与 不在 y 轴上的两个交点，若534Q， 12AMN 的垂心为 ，且QMN 的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的Bb， 2C12C方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： ，由2cb。22212,cabcea有(2)由
17、题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ ,由 的垂心为 B，有11(,)(,)0MxyNxAMN。2113()(04BAybur由点 在抛物线上， ，解得：1(,)xy22x11()4by或 舍 去故 ，得 重心坐标 .155,(,)244bbbNQN3,由重心在抛物线上得： ， ，又因为23,=2所 以 1(5,)(,)2MM、N 在椭圆上得： ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 。216a1634xy4xy22. （本小题满分 14 分）证明以下命题：（1） 对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得 成等差数列。22abc， ，（2） 存在无穷
18、多个互不相似的三角形 ，其边长 为正整数且nnn， ，成等差数列。22nnabc， ，【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证 ， ；类似勾股数进行拼凑。22acb证明：考虑到结构特征，取特值 满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整1,57数 a 均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当 成等差数列，则 ，22nnbc， ， 22nnbacb分解得： ()()na选取关于 n 的一个多项式， 做两种途径的分解2412 241()24(1)对比目标式，构造 ，由第一问结论得，等差数列成立，2)1nbnc考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。咛咛中国校长网资源频道 暴暴所以 平面 PBC.,PECAE又由 知 平
