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普华永道:中国娱乐及媒体市场展望—— 2017-2021年.pdf

1、 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(江西卷)第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每个小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的。1.已知(x+i) (1-i)=y,则实数 x,y 分别为( )A.x=-1,y=1 B. x=-1,y=2C. x=1,y=1 D. x=1,y=2【答案】 D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法,得 ,没有虚2()(1xixiy部,x=1,y=2.2.若集合 , ,则 =( )A=|1xR, 2B=|yxR, ABA. B. 0C. D. |0【答案

2、】 C【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B;, ,解得 。在应试中可采用特值检|1Ax|0ByAB=x|01I验完成。3.不等式 2x的解集是( )A. B. C. D. (0), (0), (2), (0)( -, ) ,【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数. ,解得 A。2x或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。4. 211lim3nxL( )A. 5B. C. 2 D. 不存在【答案】B 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。

3、13lim()2nn5.等比数列 中, , =4,函数 ,则na18a128()()fxaxaL( )0fA B. C. D. 629215【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 只与函数 的一次ffx项有关;得: 。41212381()aaL6. 展开式中不含 项的系数的和为( )82x4xA.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难则反。采用赋值法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 项系数 即为所求,4

4、x802(1)C答案为 0.7.E,F 是等腰直角ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 ( )tanEFA. 1627B. 3 C. D. 34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法 1:约定 AB=6,AC=BC= ,由余弦定理 CE=CF= ,再由余210弦定理得 ,4cos5ECF解得 3tan解法 2:坐标化。约定 AB=6,AC=BC= ,F(1,0),E(-1,0),C(0,3)利用向量的夹角公式32得,解得 。4cos5ECFtan4ECF 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 8.直线 与圆 相交于 M,N 两点,若 ,则 k 的3ykx224y23M

5、N取值范围是A. 04,B. 30U, ,C. 3,D. 0,【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用.解法 1:圆心的坐标为(3.,2) ,且圆与 y 轴相切.当,由点到直线距离公式,解得 ;|MN|3时 3,04解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ,排除 B,考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A 9给出下列三个命题:函数 与 是同一函数;1cosln2xylnta2xy若函数 与 的图像关于直线 对称,则函数fgyx与 的图像也关于直线 对称;yfx12yx若奇函数 对定义域内任意 x 都有 ,则 为周期函数。

6、f (2)ffxf其中真命题是A. B. C. D. 【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,错误;排除 A、B,验证, ,又通过奇函数得 ,所2()(2)fxfxf()fxf以 f(x)是周期为 2 的周期函数,选择 C。10.过正方体 的顶点 A 作直线 L,使 L 与棱 , ,1CDBABD所成的角都相等,这样的直线 L 可以作1AA.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断,重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类:通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1, 第二类:在图形外部和每条

7、棱的外角和另 2 条棱夹角相等,有 3 条,合计 4 条。 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 和 ,则1p2A. = B. D。以上三种情况都有可能1p21p21p2【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业,作为旧大纲的最后一年高考,本题给出一个强烈的导向信号。方法一:每箱的选中的概率为 10,总概率为 ;

8、同理,方法二:每箱的选中的概率为 ,总事件的概率0101(.)9C 15为 ,作差得 ,分别经过三条棱 , , 作一个截面平分三A棱锥的体积,截面面积依次为 , , ,则 , , 的大小关1S231S23系为 。【答案】 321S【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力,通过补形,借助长方体验证结论,特殊化,令边长为 1,2,3 得 。321S三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 12 分)已知函数21cotsinisin4fxxmx。 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ (1) 当 m=0 时,求 在区间 上

9、的取值范围;fx384,(2) 当 时, ,求 m 的值。tan25fa【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题.解:(1)当 m=0 时,22cos 1cos2in()insiinsx xfxxx,由已知 ,得i(1243,84,1从而得: 的值域为()fx20,(2) 2cos1insi()sin()4fxmx化简得: 1()(1)co2x当 ,得: , ,tan22sitasinn5a3cos2a代入上式,m=-2.18. (本小题满分 12 分)某迷宫有三个通道,进

10、入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完迷宫为止。令 表示走出迷宫所需的时间。(1) 求 的分布列;(2) 求 的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景,重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。(1) 必须要走到 1 号门才能走出, 可能的取值为 1,3,4,6, , ,()3P()326P()2P 中国校长网

11、中国校长网资源频道 http:/ 21(6)()3PA分布列为:(2) 小时11734632E19. (本小题满分 12 分)设函数 。ln2(0)fxxa(1)当 a=1 时,求 的单调区间。f(2 )若 在 上的最大值为 ,求 a 的值。fx01, 12【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解:对函数求导得: ,定义域为(0,2)()fxx(1) 单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当 a=1 时,令21()0+=02fxxx 得 ( )当 为增区间;当 为减函数。(0,2,xf(),(,f,(2) 区间 上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比

12、较得到,1,确定待定量 a 的值。当 有最大值,则必不为减函数,且 0,为单调递增区0x, 1()2fxax间。最大值在右端点取到。 。max1()2f20. (本小题满分 12 分)如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD 平面BCD,AB 平面 BCD, 。3AB(1) 求点 A 到平面 MBC 的距离;1 3 4 6P 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ (2) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能力

13、和推理能力解法一:(1)取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OBCD,OMCD.又平面 平面 ,则 MO平面 ,所以MCDBBCDMOAB,A 、B、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E,则AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.OB= MO= ,MOAB,MO/面 ABC,M、O 到平面 ABC 的距离相等,作3OH BC 于 H,连 MH,则 MH BC,求得:OH=OCsin600= ,MH= ,利用体积相等得: 。215 215ABCMAVd(2)CE 是平面 与平面 的交线.ACBD由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形.作 BFEC 于 F,连 AF

14、,则 AFEC,AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角,设为 .因为BCE=120 ,所以BCF=60. ,sin603Bo,ta2AF5i所以,所求二面角的正弦值是 .2【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理,一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二:取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OBCD,OMCD,又平面 平面MCD,则 MO 平面 .BCDBC以 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如图.OB=OM= ,则各点坐标分别为 O(0,0,0) ,C (1, 0,0) ,3M(0, 0, ) ,B(0,- ,0) ,

15、A(0,- ,2 ) ,3(1)设 是平面 MBC 的法向量,则 ,(,)nxyzr B=(,)ur yx M DCBOA 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ ,由 得 ;由 得 ;取(0,3)BMurnBCru30xynBMru30yz,则距离1(0,2)nA5dr(2) , .(1,03)CMur(1,32)Cur设平面 ACM 的法向量为 ,由 得 .解得1,)nxyz1nCMAur302xzy, ,取 .又平面 BCD 的法向量为 ,则3xzy1(3,ur (,1)r11cos,5nurr设所求二面角为 ,则 .215si()【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越

16、来越常见,此类方法的要点在于建立恰当的坐标系,便于计算,位置关系明确,以计算代替分析,起到简化的作用,但计算必须慎之又慎21. (本小题满分 12 分)设椭圆21:(0)xyCab,抛物线22:Cxby。(1) 若 经过 的两个焦点,求 的离心率;211(2) 设 A(0,b) , ,又 M、N 为 与 不在 y 轴上的两个交点,若534Q, 12AMN 的垂心为 ,且QMN 的重心在 上,求椭圆 和抛物线 的Bb, 2C12C方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: ,由2cb。22212,cabcea有(2)由

17、题设可知 M、N 关于 y 轴对称,设 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ ,由 的垂心为 B,有11(,)(,)0MxyNxAMN。2113()(04BAybur由点 在抛物线上, ,解得:1(,)xy22x11()4by或 舍 去故 ,得 重心坐标 .155,(,)244bbbNQN3,由重心在抛物线上得: , ,又因为23,=2所 以 1(5,)(,)2MM、N 在椭圆上得: ,椭圆方程为 ,抛物线方程为 。216a1634xy4xy22. (本小题满分 14 分)证明以下命题:(1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc),使得 成等差数列。22abc, ,(2) 存在无穷

18、多个互不相似的三角形 ,其边长 为正整数且nnn, ,成等差数列。22nnabc, ,【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。(1)考虑到结构要证 , ;类似勾股数进行拼凑。22acb证明:考虑到结构特征,取特值 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整1,57数 a 均能成立。结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷。证明:当 成等差数列,则 ,22nnbc, , 22nnbacb分解得: ()()na选取关于 n 的一个多项式, 做两种途径的分解2412 241()24(1)对比目标式,构造 ,由第一问结论得,等差数列成立,2)1nbnc考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。下证互不相似。咛咛中国校长网资源频道 暴暴所以 平面 PBC.,PECAE又由 知 平

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