1、目录第1章函数1.1复习笔记1.2名校考研真题详解第2章序列的极限2.1复习笔记2.2名校考研真题详解第3章函数的极限与连续性3.1复习笔记3.2名校考研真题详解第4章导数与微分4.1复习笔记4.2名校考研真题详解第5章导数的应用5.1复习笔记5.2名校考研真题详解第6章不定积分6.1复习笔记6.2名校考研真题详解第7章定积分7.1复习笔记7.2名校考研真题详解第8章广义积分8.1复习笔记8.2名校考研真题详解第9章数项级数9.1复习笔记9.2名校考研真题详解第10章函数序列与函数项级数10.1复习笔记10.2名校考研真题详解第11章幂级数11.1复习笔记11.2名校考研真题详解第12章傅里叶
2、级数12.1复习笔记12.2名校考研真题详解第13章多元函数的极限和连续13.1复习笔记13.2名校考研真题详解第14章多元微分学14.1复习笔记14.2名校考研真题详解第15章重积分15.1复习笔记15.2名校考研真题详解第16章曲线积分与曲面积分16.1复习笔记16.2名校考研真题详解第17章含参变量积分17.1复习笔记17.2名校考研真题详解第1章函数1.1复习笔记一、实数1数集（1）集合的概念集合是将具有某种特性的、确定的、互不相同的对象的全体作为一个整体，这些对象称为集合中的元素，若a是集合A中的元素，则记为aA，如果a不是集合A中的元素，则记为.（2）集合的表示方法列举法：是将集合
3、中的元素全部列出.描述法：是将集合的特性精确给出.（3）子集的相关概念子集的定义：若集合A中的每一个元素X都属于集合B，则称B包含A，记为，此时也称A是B的子集.集合相等：如果和同时成立，则认为A，B是同一个集合，此时也记为AB.真子集的定义：若且AB，则称A是B的真子集，记为.注：空集 即 中不含有任何元素,因此是任何集合的子集.（4）集合的运算给定集合A，B，集合有以下常用运算：称为A与B的并；称为A与B的交；称为A与B的差.2实数系的连续性（1）分划的定义设S是一个有大小顺序的非空数集，A和B是它的两个子集，如果它们满足以下条件都有A中无最大数，则将A，B称为S的一个分划，记为.（2）戴
4、德金分割定理对实数系R的任一分划（A|B），B中必有最小数.3有界集与确界（1）有界集设集合并且，a如果存在使得对有 M，则称E是有上界的，并且说M是E的一个上界；b如果存在使得对有 m，则称E是有下界的，并且说m是E的一个下界；c如果E既有上界又有下界，则称E是有界的.E是有界的充分必要条件是：存在M0，使得对任意的有（2）确界的定义上确界设为一个非空数集，若有满足aM是E的一个上界，即有b对存在使得则称M为E的上确界，记为.下确界设为一个非空数集，若有满足：am是E的一个下界，即有b对存在使得，则称m为E的下确界，记为显然，E的上确界就是它的最小上界，而下确界就是它的最大下界.（3）确界定
5、理非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界.（4）常用不等式实数的绝对值由此可知，对任何有三角不等式，伯努利（Bernoulli）不等式：对任意的和任意正整数n，有算术几何平均不等式：对任意n个非负实数有：（5）常用记号N：全体正整数组成的集合；Z：全体整数组成的集合；Q：全体有理数组成的集合；R：全体实数组成的集合.显然有闭区间：开区间：左开右闭区间：左闭右开区间：且；无穷区间：.二、函数的概念1函数的定义（1）对于给定的集合，如果存在某种对应法则f，使得对X中的每更多各类考试资料 v：344647 公众号：顺通考试资料 一个数x，在R中存在唯一的数y与之对应，则称对应法则
6、f为从X到R的一个函数，记做其中y称为f在点x的值，X称为函数f的定义域，数集称为函数f的值域，记为f（x），x称做自变量，y称做因变量.（2）构成一个函数必须具备三个基本要素：定义域、值域和对应法则.2常见函数类型（1）基本初等函数常值函数：幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：.（2）特殊函数符号函数狄利克雷（Dirich1et）函数.高斯（Gauss）取整函数其中x即不超过x的最大整数，即nxn1.黎曼（Riemann）函数特征函数:设，称为集E的特征函数.3函数的构造（1）函数的四则运算设为两个已知函数，且则可以利用实数的四则运算构造新函数如下：（2）函数的限制与延拓设函数
7、和满足：且则称f（x）是g（x）在X1上的限制，而g（x）是f（x）在X2上的延拓.（3）函数的复合设为两个函数，若则定义在X1上的函数称为f1和f2的复合函数，记作，通常称f1为该复合函数的内函数，f2为外函数.注：函数的复合运算可以进行的前提条件是，外函数的定义域必须包含内函数的值域.（4）映射和反函数的定义单射：设是一个函数，若对任意的只要x1x2，就有成立，则称f（x）是单的.满射：若则称f（x）为满的.双射：若f（x）既是单的又是满的，称为双射，又称它为一个一一对应.反函数：设是一个一一对应.定义函数如下：对任意的函数值g（y）规定为由关系式yf（x）所唯一确定的这样定义的函数g（y
8、）称为是函数f（x）的反函数，记为注：反函数的定义域和值域恰为原来函数的值域和定义域.函数f和其反函数满足：yf（x）的图像与它的反函数的图像正好关于直线yx对称.三、具有某些特性的函数1有界函数（1）设yf（x）是定义在X上的函数.若存在常数M，使得对都有f（x）M，则称f（x）在X上有上界，同时称M是f（x）的一个上界；若存在常数m，使得对都有,则称f（x）在X上有下界，同时称m是f（x）的一个下界；若f（x）在X上既有上界M又有下界m，则称f（x）在X上有界.（2）f（x）在X上有界的充分必要条件是存在，使得当时，有,即2单调函数设yf（x）是定义在X上的一个函数，若对任意的只要x1x2
9、，便有则称f（x）在X上是单调上升（下降）函数或单调递增（递减）函数.在上述不等式中将换成则称f（x）在x上是严格单调上升（下降）函数.单调上升函数和单调下降函数统称为单调函数.3周期函数设yf（x）是在X上有定义的函数,若存在T0，使得对任意有则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的一个周期.若存在一个最小的正周期T0，则称T0为f（x）的基本周期.4奇函数、偶函数设yf（x）是定义在X上的一个函数，而且X是关于原点对称的，即蕴涵着（1）若对一切的成立，则称f（x）是X上的奇函数；（2）若对一切的成立，则称f（x）是X上的的偶函数.注：偶函数的图像是关于y轴对称的，而奇函数的图像是关于原点对
10、称的.四、初等函数1初等函数的概念从六种基本初等函数出发，经过有限多次加、减、乘、除和复合运算所能得到的所有函数统称为初等函数.2双曲函数（1）双曲函数的定义这四个函数分别称之为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切和双曲余切.（2）双曲函数的恒等式1.2名校考研真题详解一、填空题设（）A0B1CD【答案】B【解析】二、解答题1使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。天津大学研证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。设为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，存在。下面证该下确界就是的极限。由下确界定义：（1）对任意的n，有，当然成立，这为任意小的正数。（2）对上述任意
11、的，存在N，当nN时，有。又因为条件（1），所以成立。2设S是非空集合，=infS，试证明：若S，则S中必存在一个严格单调递减的，使得北京航空航天大学研证明：若=infS，即（1）对任意的xS，有X：（2）对任意的0，存在，使得取，存在，使得。改变n的值，有依次类推，有而且满足很明显，为一个严格单调递减的数列，且3设xy为所有xy乘积的集合，其中，且x0及y0证明： 证明：设又，可取且使由，存在由有由，得证4设同济大学研解：当当1x0时，当x1时，5证明：函数为R上的有界函数湖北大学2001研证：取1，存在N0，当又f（x）在内连续从而有界，即综上两式知f（x）在R上有界，6设，求f（x）的定
12、义域和f（f（-7）中国人民大学研解：由3-x0，3-x1，49-x20，解得，从而f（x）的定义域为又第2章序列的极限2.1复习笔记一、序列极限的定义1序列序列（也称为数列）,即按照一定顺序排列的一列数：一个序列实质上就是一个从正整数集N到实数集R的函数：NR，通常记为，其中称为通项.2序列极限（1）-N定义设xn是一个序列，若存在常数使得,当时，有则称该序列是收敛序列，并称a为该序列的极限（或者说序列收敛于a），记做或，若不存在使得收敛于a，则称之为发散序列.设是一个序列，若对，总存在使得，则称为发散序列（2）无穷小量定义设是一个序列，若则称序列为无穷小量，记为：，需特别指出的是，无穷小量
13、并不是一个很小的量，而是极限为零的一个变量基本性质定理设是一个序列，分为三种情形讨论：a是无穷小量的充分必要条件是是无穷小量.b若是无穷小量，M是一个常数，则是无穷小量.c的充分必要条件是是无穷小量.（3）无穷大量正无穷大量设是一个序列，若对,使得对于任意的，有,则称为正无穷大量（有时也称的极限为,记为）；负无穷大量若，当时有，则称为负无穷大量（有时也称的极限为，记为；无穷大量若是正无穷大量，则称为无穷大量（有时也称的极限为，记为（4）无穷大量和无穷小量的关系定理是无穷小量的充分必要条件是是无穷大量，这里假设对任意的正整数n，有二、序列极限的性质1有界序列设是一个序列，若对有成立，则称是有界的
14、2序列极限的基本性质（1）极限的不变性改变一个序列的有限多项，不改变其敛散性；当收敛时，则不改变其极限值.（2）极限的唯一性定理收敛序列的极限是唯一的.（3）有界性定理收敛序列是有界的.推论有界序列不一定收敛.（4）保序性定理给定两个序列和并且假定则有：a若b0，则对任意给定的使得当时，有b若,当时有,则ab.推论设,则对任给使得当时，有若则对任给使得当时，有（5）四则运算设则其中（6）夹逼收敛定理定理设序列和满足若三、单调收敛原理1单调收敛理论（1）单调序列若序列满足则称是单调递增（上升）的序列；若序列满足则称是单调递减（下降）的序列；单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列.（2）单调
15、收敛定理定理单调有界序列必收敛.推论单调序列总是广义收敛的，并且有a若单调上升，则b若单调下降，则.2单调收敛原理的应用（1）无理数e序列单调上升有上界，单调下降有下界，故二者都收敛且有相同的极限，约定用字母e来表示其极限值，即e是数学中最重要的常数之一，其近似值为：（2）欧拉（Euler）常数c序列单调下降有下界，由单调收敛定理可知收敛.记称c为欧拉（Euler）常数，可计算出.四、实数系连续性的基本定理1闭区间套定理定理设是一列闭区间，并满足：（1）（2）则存在唯一的一点使得即注：闭区间这个条件是重要的，若区间是开的，则定理的结论不一定成立.2有限覆盖定理（1）覆盖的概念设A是R中的一个子
16、集，是R中的一族子集组成的集合，其中A是一个指标集.若，则称是A的一个覆盖；若的一个覆盖，而且对每个均是一个开区间，则称为A的一个开覆盖；若是A的一个覆盖，而且n的元素只有有限多个，则称是A的一个有限覆盖.（2）有限覆盖定理定理设a，b是一个闭区间，是a，b的任意一个开覆盖，则必存在一个子集构成a，b的一个有限覆盖，即在中必有有限个开区间使得3聚点原理（1）聚点的定义设E是R中的一个子集，若（x0不一定属于E）满足：对有则称x0是E的一个聚点.若，但它不是E的聚点，则称x0是E的一个孤立点.（2）聚点原理定理R中的任何一个有界无穷子集至少有一个聚点.（3）子序列定义设是一个序列，则由该序列的一
17、部分元素按原来的顺序构成的序列称为是的一个子序列，其中下标 满足如下三点a中的每一项都是正整数，并且它是一个严格递增序列：b表示在子序列中它是第k项，在原序列中它是第项；c必有从而定理设,则对的任意子序列都有.推论若在一个序列中可以找到两个收敛的子序列和使得则该序列必然发散.波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理定理任何有界序列必有收敛的子序列.4柯西收敛原理（1）柯西收敛原理柯西序列设是一个序列，若,当时，有,则称是一个柯西序列.柯西收敛原理序列收敛的充分必要条件是是一个柯西序列.实数的完备性将一些数构成的集合K称为是一个空间.如果一个空间K中的任何柯西序列都在K中存在极限，即存在,使得,则称K是完备的
18、.实数域R是完备的，有理数域Q是不完备的，任何开区间（a，b）也是不完备的.（2）压缩映照原理设在上有定义,且满其中，则存在唯一的使得，c.五、序列的上、下极限1上、下极限的定义（1）设是有界序列，令则有即和是单调有界序列.令则l与h分别称为的下极限和上极限，记为（2）若为无界序列，则规定：若无上界，则注意此时必有：若无下界，则注意此时必有：若有下界但无上界，则有定义，故可定义，但须注意的是，此时可能为.若有上界但无下界，则有定义，故可定义，但须注意的是，此时可能为.这样，对任意的序列，和都有明确的定义，而且恒有2上极限的等价定理设是一有界序列，h是一实数，则下列三个命题等价：（1）h是的上极
19、限；（2）,当nN时有而且对，,使得（3）存在子列使得,而且对任何其他收敛子列有.3上、下极限的相关定理（1）若有界序列由互不相同的数组成，则上极限是的最大聚点，而下极限是的最小聚点.（2）是的任一子列，则（3）的充分必要条件是,其中a可以是有限数、或.4上、下极限的重要性质（1）设和是任意给定的两个有界序列，若有，则必有（2）设和是任意给定的两个有界序列，则有（3）设和是任意给定的两个有界序列，则有（4）设和是任意给定的两个有界序列，若则有2.2名校考研真题详解1求下列极限：（1）北京大学研（2）f（x）在-1，1上连续，恒不为0，求华中师范大学研解法1：由式及两边夹法则，（2）故解法2：（
20、2）f在-1，1上连续；因而f（x）有界2设数列单调递增趋于证明：（1）（2）设 证明：，并利用（1），求极限中国人民大学研证明：（1）（i）先设，由式，存在N0，当nN时有特别取n=N+1，N+2，将这些式子统统相加得此即 而由于以及式，（ii）再当时由有 下证递增趋于，由知，当nN1时，有 ，即单调递增由式有，从而有将这些式子统统加起来有显然当时，由式及上面（i）的结论有（iii）当时，只要令，则由上面（ii）可证（2）单调递减因为，所以即有下界，从而（存在）由两边取极限有此即再求，考虑 由两式将代入得3求极限中国科学院研解法1：解法2：设单调增，又，则有上界，故 收敛令得4已知，求证：
21、哈尔滨工业大学、武汉大学研证明：（1）当a=0时，那么，存在N0，当nN时此即（2）当a0时因为令，则对，存在N0，当nN时，有而5设，且，n=1，2，证明收敛并求其极限。西安电子科技大学研证明：显然有。由可得于是故收敛，其极限为6设，证明：上海交通大学研证明：因为，所有对任意的，存在N，则对任意的nN，有则再由可知左右两侧的极限存在且相等，都等于7设求南京大学研、山东师范大学2006研解：由于，根据递推关系和数学归纳法可知于是有因此为单调递增有界数列，故存在极限，记为x。在递推关系式中令，解得x=2，从而8设证明收敛，并用表示其极限。北京理工大学研证明：所以对任意的自然数n、P，有当n时，因
22、为由Cauchy收敛准则可知收敛，因为两边取极限，利用等比数列的求和公式，则9数列 求湖南大学研解： 由式有把上面各式相加得两边取极限10设是一个无界数列但非无穷大量，证明：存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列哈尔滨工业大学研证明：取充分大的数M0，则数列中绝对值不超过M的个数一定有无穷多个，（否则是无穷大量了），记A为中绝对值不超过M的元素所成集合，则A是含无限项的有界集（1）因为满足的有无穷多项，任取一又使的有无穷多项取，且，如此下去，得一 的子列于是有（2）若A中有无穷多项是相同的数a则取其为的子列是收敛子列若A无相等的无穷多项，将-M，M等分为二则其中必有一区间含A中的无穷多
23、项，令其为a，b，取xn1a，b，再将a，b等分为二，则其中必有一区间含A中无穷多项，令其为，又再将a1，b1等分为二，令含A中无穷多项的为a2，b2取且n3n2，如此下去，得一子列且由闭区间套原理于是的收敛子列，或者A为有界集，应用有界数列必有收敛子列定理，知必有收敛的子列第3章函数的极限与连续性3.1复习笔记一、函数的极限1定义设函数在内有定义，若存在实数A，使得当（即时，有则称当x趋于时，函数以A为极限，记为或者2基本性质（1）不变性定理设在x0的某个邻域有定义，则对任何改变在外面的函数值，不影响在x0处的敛散性（2）唯一性定理设极限存在，则该极限值是唯一的（3）有界性定理设极限存在，使
24、得在有界（4）保序性定理设则若使得当时，有则；若则对任何使得当时，（5）四则运算定理设则有这里假定（6）复合函数的极限定理设函数在有定义,且在有定义，当时，有且，则有（7）夹逼收敛定理定理若而且存在使得对一切成立，则有3函数极限概念的推广（1）单侧极限邻域的推广（x0的右邻域）；（x0的左邻域）；（x0的右空心邻域）；（x0的左空心邻域）单侧极限的定义设在上有定义如果存在实数A，对使得当（即时，有则称在点x0的右极限存在，而称A为在点x0的右极限，记为或者类似地可定义在点x0的左极限或者函数极限与单侧极限的关系定理函数在点x0极限存在的充分必要条件是在点x0的左、右极限都存在且相等（2）自变量
25、趋向无穷大时的极限的单侧邻域a称集合为的邻域，记为或b称与为的单侧邻域，分别记为和.自变量趋向无穷大时极限的定义设函数在上有定义若存在实数A，使得当时，有则称当x趋于时的极限存在，其极限为A记为或者类似地可以定义和（3）广义极限设在上有定义若使得当时，有则称当x趋于x0时，的广义极限为+，并记为或类似地可以定义,，.4序列极限与函数极限的关系定理设在上有定义，则成立的充分必要条件是：对内任意收敛于x0的序列都有5极限存在性定理和两个重要极限（1）极限存在性定理定理设函数在内有定义，分以下两种情形讨论：若在上单调上升，则若在内单调下降，则（2）柯西收敛准则定理设在内有定义，则存在的充分必要条件是
26、：当时，有（3）两个重要的极限（4）函数的上、下极限xx0时函数上、下极限的定义设函数在内有定义对任意的设则当时，有容易看出，作为上的函数，关于单调递减，而关于单调递增因此它们的广义极限都存在令则分别称之为当x趋于x0时的下极限和上极限，记为xx0时函数极限与上、下极限的关系定理设函数在内有定义，则存在的充分必要条件是二、函数的连续与间断1相关概念（1）函数在一点处连续与间断的定义设函数在内有定义若有则称在点x0连续，并称x0为的一个连续点；否则称在点x0间断（或不连续），并称x0为的一个间断点（或不连续点）若当时，有则称在点x0连续设函数在点x0处连续，则有（2）函数在一点左、右连续的定义若
27、函数在上有定义，且f（x0），则称在点x0右连续；若在上有定义且则称在点x0左连续（3）函数在一点连续与左、右连续的关系定理在点x0处连续的充分必要条件是它在该点左、右连续（4）函数在区间上的连续设函数在上有定义若对任意的，在点x处连续，则称在（a，b）内连续，此时记为若而且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称在a，b上连续，此时记为（5）间断点的分类若与都存在，则称x0为的第一类间断点此时，若则称此间断点为可去间断点；否则称其为跳跃间断点若与至少有一个不存在时，则称x0为的第二类间断点2连续函数的性质（1）连续函数的基本性质连续函数是局部有界的，即若在点x0处连续，则必存在J0，使得在U
28、（x0，J）上有界连续函数的局部保号性，即：a若在点x0处连续，而且则必存在使得对一切成立b对任意的总存在00，使得当时，有连续函数经四则运算后仍然连续，即若和g（x）在点x0处连续，则函数和也在点x0处连续（2）复合函数的连续性定理定理设在点x0连续，在点连续，则复合函数在点x0连续（3）反函数连续性定理定理设是区间I上严格单调的连续函数，则其反函数在上连续3初等函数的连续性（1）指数函数的定义推广当x为正有理数（其中p，q是互素的正整数），定义对于任何负有理数x，定义并定义当x为一无理数时，定义为小于x的有理数有ab若则（2）初等函数的连续性六大类基本初等函数在其定义域内都是连续的初等函数
29、在其定义域内是连续的三、闭区间上连续函数的性质1基本性质（1）有界性定理设函数则在a，b上有界（2）最值定理定理设则在上必有最小值和最大值，即存在使得对一切的成立（3）介值定理定理设则即对使得（4）零点存在定理定理设在区间I上连续若满足则存在使得2函数的一致连续性（1）一致连续性的 - 定义设函数在区间I上有定义若对当且时，有则称在I上一致连续（2）一致连续性判别定理一致连续性的必要条件定理在I上一致连续，它必在I上连续.一致连续性的充要条件定理设函数在区间I上有定义，则在I一致连续的充分必要条件是：对任意的两个序列若满足必有（3）闭区间上连续函数的一致连续性定理定理（康托尔定理）设函数则在闭
30、区间a，b上一致连续（4）开区间上连续函数的一致连续性定理定理函数在上连续,在（a，b）上一致连续的充分必要条件是:与都存在四、无穷小量与无穷大量的阶1无穷小量与无穷大量（1）定义设函数在上有定义若则称为时的一个无穷小量；若则称为xx0时的一个无穷大量（2）关系定理设函数在上有定义且恒不为零，则为时的一个无穷小量的充分必要条件是为时的一个无穷大量2无穷小量与无穷大量的阶（1）分类设f（x）和g（x）都是当xx0时的无穷小量（无穷大量），且若则称f（x）是比g（x）更高阶的无穷小量（更低阶的无穷大量），记为；若则称f（x）与g（x）是同阶无穷小量（同阶无穷大量）；若则称f（x）与g（x）是等价无
31、穷小量（等价无穷大量），记为若存在和使得有成立，则记为（2）应用定理若无穷小（大）量则有；.假定所有的函数都在点x0的某个去心邻域上有定义，作为分母的函数在这个去心领域上不为0，并且假定各式右端的极限存在3.2名校考研真题详解1设a，b，A均不为零的有限数，证明： 的充分必要条件是华中师范大学研证明：当先证必要性再证充分性由式有2设f（x）在上有定义且在每一点处函数的极限存在求证：f（x）在上有界哈尔滨工业大学研证明：由于极限存在，设取=1，则存在 0，使当时有令 即存在使式成立于是是上的一个开覆盖，由有限覆盖定理存在有限个，不失一般设为也构成的一个开覆盖，且再令，则3设函数f（x）定义在上，
32、f（x）在每一个有限区间（a，b）内有界，并满足证明：江苏大学研证明：由于，所以对任意的0，存在，使得当时，有于是有将这些式子相加有由于f（x）在上有界，即存在C0，使得当时，有，从而，于是又因为，所以存在，使得当时，有于是取，则当xM时，有即4设函数f（x）在点x0的邻域，（点x0可能例外）有定义，且对任意的点列都成立，试证明：中科院武汉物理与数学研究所研证明：反证法设x0到I的边界的距离为d，若，则存在，对任意的存在使得取，则存在，满足再取则存在满足依次类推，取，则存在，满足这样就得到点列，且，但这与题设条件矛盾，得证5求华南师范大学研解：由等价无穷小量知由微分中值定理知其中位于或之间所以
33、6证明：在a，+（其中a0）上一致连续，在（0，1）上不一致连续中国科学院研证明：对，取，当时，由一致连续的定义知， 在a，+（a0）中一致连续在（0，1）内取，取，对任意0，只要n充分大总有所以f（x）在（0，1）上不一致连续7设f（x）和g（x）为连续函数，试证明也为连续函数，其中max表示取最大值。北京工业大学研证明：由于，所以只要证明为连续函数即可。因为f（x）和g（x）为连续函数，所以对任意的，任意的0，存在0，使得当时，有从而当时，由三角不等式得所以在处连续，再由的任意性知，为连续函数。于是也为连续函数。8设f（x）是在区间a，+）上的有界连续函数，并且对任意实数c，方程f（x）=
34、c至多只有有限个解，证明：存在。华东师范大学研证明：由于f（x）在区间a+，）上有界，所以数列f（n）有界，由致密性定理知存在子列收敛，记。下证，反证法。假设，则存在及单调递增数列，使得。由于是有界的，所以由致密性定理知存在子列收敛，并记。从而，不妨设BA。由极限的保号性知，存在K0，使得于是由连续函数的介值性知有无限多个解，矛盾。9设f（x）在有限区间（a，b）上有定义，试证明f(x)在（a，b）上一致连续的充要条件是，若是（a，b）中的收敛列，则也是收敛列。中山大学研证明：必要性。因为f（x）在（a，b）上一致连续，所以对任意的0，存在0，使得又因为是（a，b）中的收敛列，所以由Cauch
35、y收敛准则知存在N0，使得，故有从而由Cauchy收敛准则知是收敛列。充分性。反证法。若f（x）在（a，b）上不一致连续，则存在，对任意的，有，虽然，但。注意到（a，b）是有限区间，因此中存在收敛的子序列。因为（当n时），故中相应的子序列也收敛于相同的极限。从而穿插之后，序列也收敛，为Cauchy列。但其象序列恒有，不是Cauchy列，与已知条件矛盾。第4章导数与微分4.1复习笔记一、导数1导数的概念（1）导数的定义设函数在内有定义.若极限存在，则称在点 处可导，并且称此极限值为在 处的导数，记为或者（2）基本初等函数的导数；2单侧导数（1）单侧导数的定义设函数在内有定义，若极限存在，则称在
36、处右可导，并且称此极限值为在 处的右导数，记为同理可定义函数在 处的左可导和左导数，即（2）导数与单侧导数的关系定理在 处存在的充分必要条件是:与都存在且相等.3可导与连续（1）定理若函数在 处可导，则它在 处连续.（2）定理若函数在 处连续，则它在 处不一定可导.（3）在 处左可导，则在 处左连续；右可导则右连续.在 左、右可导（不要求左导数与右导数相等）,则必有在 连续.二、求导法则1函数四则运算的导数（1）定理设函数和都在点 处可导，则下列各式在点 处成立：；（2）推论设都在点x处可导，则下列各式在点x处成立：其中 是常数；2反函数的求导定理设函数在内严格单调，并且令如果在内可导且导数则
37、它的反函数在内可导，而且有3复合函数的求导法则定理（链式法则）设函数在内有定义，函数在内有定义，且若与都存在，则复合函数在点可导，且4隐函数的求导法则求隐函数导数的方法，只要将y看成x的函数，在方程的两边对x求导数，就可得到满足的恒等式，然后再从中将解出即可.5参数式函数的求导法则参数方程，其中函数和都在内可导，且，由该参数方程所确定的函数的导函数为6极坐标式函数的求导法则由极坐标方程，即可得曲线的参数方程为作为 的函数，其导数存在，且在所考虑的极角 附近有则可得：三、微分1微分的概念（1）定义设函数在内有定义，如果存在常数A，使得则称在点 处可微，并称为在 处的微分，记做或者（2）性质它是自
38、变量的增量的线性函数.它与函数的增量之差是较高阶的无穷小量2微分与导数的关系定理函数在点 处可微的充分必要条件是在 处可导.3可微函数若函数在区间内每一点x处可微（即），则称函数是上的（一阶）可微函数.4一阶微分的形式不变性（1）一阶微分的形式不变性的理解设函数根据复合函数的求导法则，可得复合函数的微分公式为由于代入上式就得到了它的等价表示形式，这里是x的函数，同时也可以发现，它与u为自变量的函数f（u）的微分形式完全一样，即对f（u）进行微分时，不管u是因变量还是自变量，所得结果具有相同的形式，这就称为一阶微分的形式不变性.（2）基本初等函数的微分公式；（3）微分运算的四则运算设u，v为x的
39、可微函数，则有微分运算的法则：；.四、高阶导数与高阶微分1高阶导数（1）定义若一个函数的一阶导数仍是可导函数，则可求记其为或并称为 的二阶导数.类似地，可定义三阶导数为.一般地，当时，的 阶导数定义为的阶导数的导数，并记为或（2）常见函数的高阶导数，2莱布尼茨公式定理（莱布尼茨公式）若函数u和v有任意阶导数，则其中3高阶微分若函数在区间内可微，定义n阶微分为最常见的是二阶微分：需要注意的是，高阶微分是不具有形式不变性的。4.2名校考研真题详解1设证明：不存在一个函数以f（x）为其导函数中国科学院研证明： 用反证法，设g（x）=f（x），则则当x0时，当x0时，由于g（x）连续，即这与式矛盾2求
40、，其中n=1，2，f（0）=0，浙江大学研解：用数学归纳法证明：即当n=1时，式成立假设当n=k时，式成立由于，易证 其中是 的某个多项式则当n=k+1时从而式对一切自然数n都成立3设，令（1）讨论f（x）在x=0处的连续性；（2）求f（x），并讨论在x=0处的连续性。南京大学研解：（1）由于故f（x）在x=0处连续。（2）当x0时，当x=0时，由于因此f（x）在x=0处连续。4设f（x）在点可导，g（x）在点不可导，则在点是否可导？试分别举例说明。又如果呢？天津工业大学研解：都有可能。不可导的例子是在处。可导的例子是在处。若，则在点必不可导。反证法。假设F（x）在点可导，由于故有。因为f（x
41、）在点可导，所以f（x）在点连续，又因为，从而由连续的局部保号性知在点的某个邻域内恒有。于是这与g（x）在点不可导矛盾，得证。5设定义在0，1上的函数f（x）满足。求北京师范大学研解：由于，所以对任意的0，存在0，当0 x时有，即。取，则当nN1时，有由于，所以存在使得当有。取，则当nN时有故6设f（x）在0，1上可微，且f（x）的每一个零点都是简单零点，即若，则。证明：f（x）在0，1上只有有限个零点。苏州大学研证明：反证法。假设f（x）在0，1上有无限个零点。由实数的致密性定理知存在，使得。由f（x）的连续性知从而所以不是简单零点，矛盾，得证。7研究定义在实数轴R的函数的不连续点类型，其中
42、Q为有理数集，并回答f（x）在哪些点可导。北京航空航天大学研证明：由f（x）的定义知所以f（x）的连续点为x=k（k=0，1，），其他点都是第一类间断点。在x=k（k=0，1，）处，有下式成立故有f（k）=0，即f（x）在x=k（k=0，1，）处可导。8求函数y=arctanx的麦克劳林（Maclaurin）展开式。天津大学、浙江大学研解：因为，则，对该式两边求n阶导数，利用Leibniz公式有令x=0，得，则所以y=arctanx的Maclaurin展开式为9设f（x）连续，证明：y（x）满足方程华南理工大学2006研证明：做变量替换s=x-t，则，于是从而易知第5章导数的应用5.1复习笔记
43、一、微分中值定理1极值的定义（1）若函数f（x）在 的某个去心邻域内恒有，则称为f（x）的极大（小）值点，称为它的极大（小）值；若不等号严格成立，则称为严格极大（小）值.（2）极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2费马定理（1）定理（费马定理）设函数f（x）在中有定义若是f（x）的极值点，且存在，则.（2）推论使得f（x）0的点也称为f（x）的驻点若极值点可导，则它必是驻点；但驻点未必是极值点.3罗尔微分中值定理定理设函数f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，且f（a）f（b），则在（a，b）内至少存在一点使得4拉格朗日微分中值定理（1）定理若函数f（x）在a，b上
44、连续，在（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点 使得（2）推论设函数，且在（a，b）内可导若f（x）0，则f（x）C，其中C是一常数设函数，且在（a，b）内可导若f（x）g（x），则f（x）g（x）C，其中C是一常数5柯西微分中值定理定理若函数f（x）和g（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，而且g（x）0，则在（a，b）内至少存在一点 ，使得二、洛必达法则1型不定式求极限（1）定理设函数f（x），g（x）在a点的某一去心邻域上可导，而且满足：，则有（2）定理设函数f（x），g（x）在上可导，而且满足：；则有2型不定式求极限（1）定理设函数f（x），g（x）在a点的某一去心邻域上可
45、导，且满足：；.则有（2）定理设函数f（x），g（x）在上可导，而且满足：；，则有（3）设I是一个区间，n是一个非负整数，用记号表示I上所有具有n阶连续导数的函数的集合，用记号表示I上具有任意阶导数的函数的集合，表示I上所有连续函数的集合3洛必达法则的局限性（1）通过变量替换，总可把其他形式的不定式极限问题转化为 型和型（2）并非所有的或型不定式都可用洛必达法则求其极限（3）应用洛必达法则时，每步必须验证是否存在的条件，否则会得出错误的结论三、泰勒公式1带佩亚诺余项的泰勒公式（1）重要定理设函数f（x）在处具有n（n1）阶导数，则有（2）重要定义当f（x）在处具有n（n1）阶导数时，就把多项式
46、称为f（x）在处的泰勒（Taylor）多项式，而将称为f（x）在处的泰勒公式，其中称为泰勒公式的余项，称为佩亚诺余项.特别地，当时，称此时的泰勒公式为麦克劳林（Maclaurin）公式（3）重要函数的带佩亚诺余项的麦克劳林公式2带拉格朗日余项的泰勒公式（1）定理设，而且在（a，b）内存在n1阶导数，则对任意有其中 介于x与之间.注：余项称为拉格朗日余项. 表为（2）常见函数的带拉格朗日余项的泰勒公式3拉格朗日插值多项式（1）插值多项式设yf（x）是在区间a，b上定义的某个函数，已知它在该区间上n1个不同点处的函数值为寻找一个多项式P（x），使得这样的多项式P（x）称为f（x）的插值多项式.（2
47、）拉格朗日插值多项式称形式为的插值多项式为n阶拉格朗日插值多项式，其中称为插值节点.（3）重要定理设被插函数，且插值节点互不相同，则对任意的都存在使得.四、利用导数研究函数1函数的单调性（1）定理设函数f（x）在区间I内可导，则f（x）在I内单调上升的充分必要条件是f（x）在I内单调下降的充分必要条件是（2）推论一个可导函数f（x）在I内严格单调上升（下降）的充分必要条件是：在区间I上，而且在该区间的任何子区间上都不恒等于02函数的极值（1）定理设函数f（x）在内可导且在点x0处连续，则若当时，而当时，则f（x）在点x0取得严格极大值；若当时，而当时，则f（x）在点x0取得严格极小值；若当及时
48、，都有或者则x0不是f（x）的极值点（2）定理设函数f（x）在内n阶可导，且，则当n为奇数时，f（x）在点x0不取极值；当n为偶数且时，f（x）在x0取严格极小值；当n为偶数且时，f（x）在x0取严格极大值（3）达布（Darboux）定理设函数f（x）在a，b上可导，则对于任意介于之间的数 ，都存在使得3函数的凹凸性（1）重要定义设函数f（x）在区间I内有定义若对有则称f（x）为I上的凸函数；若当时，总有严格不等式成立，则称f（x）为I上的严格凸函数若将就得到了凹（严格凹）函数的定义.（2）重要定理为凸函数的充分必要条件是：对任意的，只要便有；定理设函数且在（a，b）上可导，则f（x）为凸函数
49、的充分必要条件是内单调上升；而f（x）为严格凸函数的充分必要条件是内严格单调上升.定理设函数且在（a，b）上二阶可导，则f（x）为凸函数的充分必要条件为：，而f（x）为严格凸函数的充分必要条件为：ab的任一子区间上都不恒等于0.（3）重要的不等式调和-几何-算术平均不等式赫尔德（Hlder）不等式和施瓦茨（Schwarz）不等式设其中，当时,又称为柯西-施瓦茨（Schwarz）不等式.4函数的拐点（1）定义设函数f（x）在上连续,如果存在使得f（x）在是凹（凸）的，而在是凸（凹）的，则称x0为f（x）的一个拐点（2）定理如果x0是f（x）的拐点，且存在，则（3）定理如果函数f（x）在二阶可导，
50、存在而且不为零，则x0是f（x）的拐点5函数的渐近线（1）设函数的图像有一向无穷远无限伸展的分支，如果当一个点沿着这一分支趋向无穷远时，该点与某一条直线l的距离趋向于零，则称直线l为f（x）的一条渐近线（2）如果有，则称为f（x）的一条垂直渐近线.（3）非垂直渐近线包括斜渐近线和水平渐近线.6函数的作图对于函数，要做出其图像，具体步骤如下：（1）求出函数的定义域；（2）研究函数的有界性、奇偶性和周期性；（3）解方程列表确定函数升降区间和极值点；（4）解方程列表确定函数的凸凹区间和拐点；（5）求出函数的斜渐近线与垂直渐近线；（6）计算一些重要点上（如点x0）的函数值；（7）根据以上数据及函数的变
