1、空间向量基本定理环节一 空间向量基本定理你还记得平面向量基本定理的内容吗？问题1类比猜想如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2 若 e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底平面向量基本定理类比猜想空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？问题2类比猜想如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 pxayb追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？两个不共线的向量还够用吗？至少需要三个
2、向量答案：类比猜想l 三个向量共面l 三个向量不共面abc？类比猜想追问2 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？给定三个不共面的向量，是否可以通过线性运算表示空间中的任意向量呢？问题3操作确认pijkO追问1 给定三个两两垂直的向量 i，j，k，显然它们是不共面的，对于给定的空间向量 p，如何用向量 i，j，k 的线性组合来表示向量 p 呢？操作确认ijkpPQOp追问1 给定三个两两垂直的向量 i，j，k，显然它们是不共面的，对于给定的空间向量 p，如何用向量 i，j，k 的线性组合来表示向量 p 呢？操作确认xipijkPQOyjzk我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，
3、j，k 上的分向量定义：追问1 给定三个两两垂直的向量 i，j，k，显然它们是不共面的，对于给定的空间向量 p，如何用向量 i，j，k 的线性组合来表示向量 p 呢？操作确认追问1 给定三个两两垂直的向量 i，j，k，显然它们是不共面的，对于给定的空间向量 p，如何用向量 i，j，k 的线性组合来表示向量 p 呢？xipijkPQOyjzk我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量定义：操作确认追问2 空间中的任意向量都可以用向量 i，j，k 的线性组合表示吗？操作确认追问3 当给定的三个不共面向量 a，b，c 不两两垂直时，对于给定的空间向量 p ，如何用向量 i，
4、j，k 的线性组合来表示向量 p 呢？操作确认OQPpacbBCAabc操作确认OQPpacbBCAabc操作确认xaOQPpacbybzcBCAabc操作确认xaOQPpacbybzcBCAabc操作确认操作确认追问4 空间中的任意向量都可以用向量 a，b，c 的线性组合表示吗？你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？问题4形成定理 那么对任意一个空间向量 p， 使得 pxaybzc如果三个向量 a，b，c 不共面，空间向量基本定理平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2存在
5、唯一的有序实数组 (x，y，z)，形成定理 那么，所有空间向量组成的集合就是 p | pxaybzc，x，y，zR如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 pxaybzc空间向量基本定理我们把a，b，c叫做空间的一个基底(base)，a，b，c 都叫做基向量(base vectors)定义：形成定理a，b，c是空间的一个基底，当且仅当 a，b，c不共面空间的基底有多少个，需要满足什么条件？ 问题5任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底空间的基底有无穷多个 答案形成定理特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为
6、1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k表示ijkO定义：形成定理aPQijkO 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 axiyjzk形成定理定义：像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 pxaybzc如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2问题6 平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？a，b，ce1，e2二维三维总结提升向量共线充要条件向量 a ( a 0)与向量 b共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使ba.一维a空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 pxaybzc如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2a，b，ce1，e2二维三维总结提升给我一个支点，我可以撬起地球阿基米德总结提升给我一个基底，还你一个空间！总结提升敬请各位老师提出宝贵意见！
