1、超几何分布教学设计教学内容超几何分布.教学目标通过对超几何分布概率模型的研究，帮助学生进一步了解随机变量在描述随机现象中的作用，深入理解随机思想在解决实际问题中的重要性.教学重点和难点重点：超几何分布及其均值，简单应用.难点：在实际问题中抽象出模型的特诊，识别出超几何分布模型.教学过程设计1. 复习引入问题1：已知100件产品有8件次品，采用有放回的抽取方式，随机抽取4件产品.设抽取的4件产品中次品数位X，求随机变量X的分布列.师生活动：学生独立完成，老师指导.追问1:随机变量X具有什么特征？答：有放回，每次抽到次品的概率都是0.08，每次抽样的结果又相互独立，所以随机变量X服从二项分布，即X
2、B4,0.08.设计意图：复习二项分布，会与后面超几何分布形成对比，通过比较放回与不放回简单随机抽样，归纳超几何分布的模型特征，拓展学生类比迁移的数学能力，发展学生逻辑推理的数学核心素养.2. 超几何分布的概念追问2：如果采用不放回抽样，随机变量X是否依然服从二项分布呢？ 答：不放回，每次抽取次品的概率都是0.08（用全概率公式可证）. 但是每次抽取不是同一试验，各次之间的抽取结果也不独立，不满足n重伯努利试验的特征，不是二项分布.追问3：随机变量X不服从二项分布，那么它的分布列是什么呢？答：随机变量X的取值可为0，1，2，3，4；样本空间样本点数：C1004.4件产品中有k件次品的结果数：C
3、8kC924-k.由古典概型，随机变量X的分布列为：PX=k=C8kC924-kC1004,k=0,1,2,3,4.设计意图：超几何分布是一种古典概率模型，根据古典概率模型可以求出概率，从而得到分布列.追问4：直观上来看，逐个不放回的摸出4件次品，和一次性摸出4件次品，随便变量X的分布列应该是相同的.能解释么？答：不考虑摸出次品的顺序，如上面解答所述.考虑摸出次品的顺序样本空间样本点数：A1004.4件产品中有k件次品的结果数：C100kA8kA92100-k.PX=k=C100kA8kA92100-kA1004=C8kC924-kC1004,k=0,1,2,3,4.设计意图：在超几何分布中，
4、考虑摸出次品的次序和不考虑摸出次品的次序，得到的分布列是一样的.反映了超几何分布模型的特征.问题2：根据上面的研究过程，大家你能上面的概率模型一般化，并给出分布列吗？师生活动：老师引导学生思考、总结.答：模型描述一一批产品有N件，有M件次品，N-M件合格品，不放回的随机抽取n件产品，设X表示抽取的n件产品中的次品数，求X的分布列模型描述二袋子中有大小相同的N个球，有M个红球，N-M个白球，不放回的随机抽取n个球，设X表示抽取的n个球中的红球数，求X的分布列PX=k=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,r.其中n,N,MN*,MN,nN,m=max0,n-N+M,r=minn,M
5、.随机变量X的分布列具有以上形式，就称随机变量X服从超几何分布.设计意图：从具体实际的问题，抽象概括到一般的情况，总结出古典概率模型中常见且重要的概率模型，提高学生抽象概括的能力，发展学生数学建模的数学学科核心素养.3. 超几何分布的均值问题3：服从超几何分布的随机变量的均值是什么呢？师生活动：引导学生先去猜想，再去计算的方式验证.答：以模型一描述为例,次品率p=MN，而Xn是抽取n件产品的次品率，猜想EXn=p,EX=np.验证：令m=max0,n-N+M,r=minn,MEX=k=mrkCMkCN-Mn-kCNn=Mk=mrCM-1k-1CN-Mn-kCNn.因为k=mrCM-1k-1CN
6、-Mn-kCNn=CN-1n-1,所以EX=Mk=mrCM-1k-1CN-Mn-kCNn=MCNnk=mrCM-1k-1CN-Mn-k=MCN-1n-1CNn=nMN=np.拓展：超几何分布的方差DX=np1-pN-nN-1.设计意图：超几何分布的均值计算要用到组合恒等式，计算难度较大，所以先猜想，再验证，验证部分让学有余力的学生有掌握即可.4. 超几何分布与二项分布的比较问题4：一个袋子中有100个大小相同的球，其中黄球40个，白球60个，随机摸出20个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数.(1) 分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列.(2) 分别就有放回和不放回摸球,用样本中的黄球的比例
7、估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.师生活动：学生独立完成分布列，老师指导.答：(1)有放回，每次摸黄球的概率p=0.4, XB20,0.4.p1k=pX=k=C20k0.4k0.620-k,k=0,1,2,20.不放回，X服从超几何分布p2k=pX=k=C40kC6020-kC10020,k=0,1,2,20.（2）利用统计软件计算出两个分布列的具体概率值，如图表所示样本中黄球的比例X20是一个随机变量，根据上图表有放回：PX20-0.40.1=P6X100.7469.无放回：PX20-0.40.1=P6X100.7988.因此，在相同的误差限制条件下，采取不放回摸球估计的概率结
8、果更可靠.追问1：两种摸球方式下，得到的分布列均值相同吗？方差呢？答：均值是相同的，但是方差不同，如图超几何分布更集中在均值附近，所以方差更小.实际上，一般而言，n1, N-nN-11所以也能说明，同一个摸球模型，超几何分布的方差更小，反映超几何分布的取值更集中于均值附近.而且，不放回时，若N足够大，且n远远小于N，那么从方差角度来看，由于N-nN-11，方差就近似相等，这时超几何分布就可以用二项分布去近似.设计意图：通过具体实例，让学生感受到超几何分布与二项分布的联系与区别，让学生深入理解这两种基本的概率模型，体会随机思想.5. 应用举例例1.一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽10
9、个检测，求至少有一件不合格的概率.师生活动：学生独立完成，教师指导.分析：定义随机变量X，将问题转化归结为PX1，求出分布列后，利用概率加法公式求解.解：设不合格品数X，则X服从超几何分布，且n=10,N=30,M=3.PX=k=C3kC2710-kC3010,k=0,1,2,3.至少有一件不合格的概率为PX1=PX=1+PX=2+PX=3=C31C279C3010+C32C278C3010+C33C277C30100.7192或按下法求解PX1=1-PX=0=1-C30C2710C30100.7192设计意图：超几何分布主要应用于不放回简单随机抽样中的概率计算，确定超几何分布列时，必须知道n,N,M.6. 归纳总结引导学生回顾本节课知识，回答下面问题：（1） 什么是超几何分布？（2） 超几何分布的均值是什么？（3） 超几何分布与二项式分布有什么联系与区别？设计意图：通过3个问题，梳理本节课的核心内容，使学生整体上把握超几何分布的模型特征，理解与二项式分布的联系和区别，巩固课堂知识.
