1、第四章 数列等差数列的前n项和教学设计第2课时 教学目标1. 等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用. 2.会求等差数列前n项和的最值. 教学重难点 教学重点：求等差数列前n项和的最值.教学难点：等差数列前n项和的性质及应用. 课前准备 PPT课件 教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第2324页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题预设的答案：（1）本节课主要学习等差数列的前n项和公式及其简单应用（2）数列是培养学生数学能力的良好题材等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过
2、程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架问题2：等差数列的前n项和公式是什么？ 师生活动：学生回顾上节课所学知识，教师完善预设的答案：若知首项、末项与项数，可用公式；若知首项、公差与项数，可用公式设计意图：通过回顾等差数列的前n项和公式，温故知新.问题3：数列是特殊的函数，那么等差数列前项和与函数是什么关系呢？师生活动：学生思考，教师完善 预设的答案：不是!当公差为零时，它是关于n的一次型函数设
3、计意图：通过设置问题，引入新课【探究新知】知识点1 等差数列an的前n项和公式与函数的关系等差数列前项和公式又可化成式子：，当，此式可看作二次项系数为，一次项系数为，常数项为零的二次函数式；它的图象是抛物线上的一群独立点追问：等差数列an的前n项和是不是可看成是定义域为正整数集或正整数集的子集上的二次函数？师生活动：学生口答，教师完善设计意图：通过等差数列an的前n项和公式与函数的关系的研究，进一步体会数列特殊的函数发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养知识点2 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列an中，当a10，d0时，有大值，使取到最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有
4、小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)因为，若d0，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，取到最值.设计意图：通过对等差数列前n项和的最值的探讨，体会从不同角度去研究数列前n项和的最值【巩固练习】例1某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 师生活动：与学生一起分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列an ，设数列an 的前n项和为Sn由题意可知， an是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项预设的答案：
5、设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列an，其前n项和为Sn.根据题意，数列an是一个公差为2的等差数列，且S20800.由，可得； a1 =21因此，第1排应安排21个座位设计意图：本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列通过等差数列前n项和公式在实际问题中的应用，发展学生数学抽象和数学建模的核心素养方法总结： 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型. 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的
6、一般过程. 需要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.例2 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a110，公差d2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 师生活动：学生分组讨论，派代表发言，教师完善预设的答案：法1.由d2，得an1an20，得an1an ，所以an是递减数列. 由a110，d2，得an10(n1)(2) 2n12. 可知，当n6时，an0；当n6时，an0；当n6时，an0. 所以, S1S2S5S6 S7也就是说，当n5或6
7、时，Sn最大.因为所以Sn的最大值为30.法2：因为由a110，d2，因为所以，当n取与最接近的整数， 即5或6时，Sn最大，最大值为30. 设计意图：通过该典型例题，加深学生对等差数列求和公式的综合运用能力发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养方法总结：1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)(2)借助二次函数的图象及性质求最值2寻求正、负项分界点的方法： (1)通过解不等式与解方程得到正、负项的分界点 (2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关
8、于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点例3 数列an的前n项和Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.师生活动：与学生一起分析，教师完善经分析可知：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解；(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解预设的答案： (1)法一：(公式法)当n2时，anSnSn1342n， 又当n1时，a1S1323421满足an342n.故an的通项公式为an342n. 法二：(结构特征法)由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：(函数性质法)由yx233x的对称轴为.距离最近的整数为16,17.由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an480，在24小时内能构筑成第二道防线
