1、第四章 数列等差数列的概念教学设计第1课时 教学目标1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式及应用.3.掌握等差数列的判定方法. 教学重难点 教学重点：理解等差数列的定义以及通项公式的应用.教学难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定. 课前准备 PPT课件 教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第1215页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题预设的答案：（1）本节课主要学习等差数列的概念及等差数列的通项公式（2）数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前
2、启后的作用一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架问题2：学完函数的概念后，我们学习了一些特殊的函数，那么学完数列的概念后，是不是也会探究一些特殊的数列呢？你能想出一些特殊数列吗？师生活动：学生思考举例，教师完善预设的答案：我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等
3、）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手（1）北京天坛圜丘坛的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81 （2）S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,
4、48 （3）测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为25,24,23,22,21 （4）某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b（）元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，思考1：你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？设计意图：通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生类比，展望数列学习的路线发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养【探究新知】知识点1等差数列的概念 1.等差数列的概念文字语言如果
5、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an1and(d为常数，nN*) ,或anan-1d(d为常数， nN*且n2)2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2A. 设计意图：通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念发展学生数学抽象和数学建模的核心素养【练一练】判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列( )(2)数列0,0,0,0，不是等
6、差数列( )(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项( )师生活动：学生独立完成预设的答案：; ; 问题探究思考2：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？知识点2 等差数列的通项公式1.设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得an1and,所以a2a1d, a3a2d, a4a3d,于是a2=a1+d, a3=a2+d=a1+2d, a4=a3+d=a1+3d, 归纳可得an= a1+（n-1）d (n2)当n=1时，上式为a1= a1+（1-1）d= a1,这就是说,上式当n=1时也成立因此，首项为a1,公差为d的等差数列
7、an的通项公式为an= a1+（n-1）d 思考3：上述推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？师生活动：学生分组讨论，派代表回答，教师总结教师总结：还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*)设计意图：让学生理解不完全归纳法猜想等差数列的通项公式，而要求解或证明等差数列的通项公式需要用累加法通过等差数列通项公式的推导，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养思考4:观察等
8、差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？师生活动：学生分组讨论，派代表回答，教师总结教师总结：从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf (n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d【练一练】（1）在等差数列an中，a32，d6.5，则a7()A22 B24C26D28（2）如果三个数2a，3，a6成等差数列，则a的值为()A1 B1 C3 D4师生活动：学生思考后回答预设的答案：（1）a7a34d246.528，故选D.（2）由条件知2a(a6)32，解得a4.故
9、选D.【巩固练习】例1（1）已知等差数列an的通项公式为an5-2n，求an的公差和首项；（2）求等差数列8,5,2的第20项（3）已知an是等差数列，且a2=-5，a6=a4+6，求a1和公差d师生活动：学生讨论后回答，教师完善预设的答案：（1）当n 2时，由an的通项公式为an5-2n，可得an-15-2（n-1），于是d=an- an-1=-2，把代入通项公式an5-2n，可得a13（2）由已知条件，得d=5-8=-3，n=20得，a20=8+（20-1）（-3）=-49（3）依题意，解得，a1=-8，d=3.设计意图：通过对等差数列的通项公式的简单应用，帮助学生理解公式所涉及的几个基本
10、量a1,d,n,an之间的关系强调让学生形成利用等差数列的“基本量”建立代数关系式（方程、方程组）解决问题的思想方法发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养方法总结：求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用ana1(n1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法(2)已知等差数列中的两项，可用直接求得公差，再利用anam(nm)d写出通项公式(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解例2 -401是不是等差数列5,-9,-13,的项？如果是，是第几项？师生活动：学生讨论后回答，教师完善预设的答案：由a1=-5,d=
11、-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5-4 (n-1) =-4n-1.令-4n-1=-401,解这个关于n的方程，得n=100.所以，401是这个数列的项，是第100项设计意图：通过本题让学生明白，先根据等差数列前两项求出数列的通项公式，再利用通项公式判断某个数是否为该数列的项让学生形成利用等差数列的“基本量”建立代数关系式（方程、方程组）解决问题的思想方法例3 (1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，试求m和n的等差中项(2)已知是等差数列，求证：也是等差数列师生活动：学生分组讨论，代表回答： 教师给出规范解题过程预设的答案：(1)由题意得3(mn)201
12、636，mn12，即m和n的等差中项. (2)成等差数列，即2acb(ac)，也是等差数列设计意图：通过本题，帮助学生灵活运用等差数列的中项性质解题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养 方法总结：等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有ac2b；反之，若ac2b，则a，b，c成等差数列.练习：教科书P15 练习1、2、3【课堂总结】1板书设计：4. 2.1等差数列的概念（1）一、探索新知二、初步应用1等差数列的概念例1知识讲解1：例22等差数列的通项
13、公式 例3知识讲解2：2总结概括：师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力3课堂作业：教科书P15 练习4 、5补：1(1)在等差数列an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d.(2)已知数列an为等差数列，a158，a6020，求a75.【答案】(1) a12， d3. (2)a7524.【目标检测设计】1.求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.设计意图：让学生进一步熟悉根据等差数列的前几项求出等差数列的通项公式，进而求出所求项.220是不是等差数列0，3，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.设计意图：让学生进一步熟悉根据等差数列的前几项求出等差数列的通项公式，以及判断某个数是不是该数列中的项.3. 在等差数列an中,(1) ，(2). 设计意图：让学生进一步巩固基本量法求解等差数列中的问题.参考答案：1.解：根据题意可知：=3,d=73=4.该数列的通项公式为：=3+（n1）4,即=4n1（n1,nN*）=441=15, =4101=39.2解：由题意可知：=0,d=3 此数列的通项公式为：=n+,令n+=20,解得n=，因为n+=20没有正整数解，所以20不是这个数列的项.3. (1)解：由等差数列推广的通项公式得： (2)， ，.
