1、空间向量基本定理教学设计【类比猜想】问题1：你还记得平面向量基本定理的内容吗？答案：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2 若 e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底问题2：类比平面向量基本定理，空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？ 答案：能追问1：为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？两个不共线的向量还够用吗？ 答案：由向量共面的充要条件可知，至少需要三个向量追问2：任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？答案：当三个向量共面时无法表示与其不共
2、面的向量，因而三个基向量必须要求不共面.【操作确认】问题3：给定三个不共面的向量，是否可以通过线性运算表示空间中的任意向量呢？答案：可以.追问1：给定三个两两垂直的向量i，j，k，显然它们是不共面的，对于给定的空间向量p，如何用向量i，j，k的线性组合来表示向量p呢？答案：由于向量具有可平移性，我们令表示向量i，j，k的有向线段都以点O作为起点. 记以O为起点的向量i，j所确定的平面为. 作等于向量p，过点P作平面的垂线PQ，垂足为Q，就是向量p在平面内的投影向量，根据向量加法的三角形法则， =+，其中与向量i和向量j共面，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得=xi+y
3、 j；而与向量k共线，由向量共线的充要条件可知，存在唯一的实数z，使得=zk. 从而，=xi+yj+zk. 这样向量p就用向量i，j，k的线性运算表示了，而且这种表示方式是唯一的. 定义：我们称xi，yj，zk分别为向量p在向量i，j，k上的分向量我们也可以进一步将图形补成一个长方体，将z倍的向量k平移至以O为起点，则三个分向量分别对应从同一个顶点O出发的长方体的三条棱，向量p对应这个长方体从顶点O出发的一条体对角线追问2：空间中的任意向量都可以用向量i，j，k的线性组合表示吗？答案：GGB软件验证任意存在唯一性追问3：当给定的三个不共面向量a，b，c不两两垂直时，对于给定的空间向量p，如何用
4、向量i，j，k的线性组合来表示向量p呢？答案：由向量的可平移性，我们以O为起点，作=p，=a，=b，=c，记平面OAB为平面. 过点P作直线OC的平行线，交平面于点Q；连接OQ，根据向量加法的三角形法则，=+，其中与向量a，向量b共面，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得=xa+yb；而与向量c是共线的，由空间向量共线的充要条件可知，存在唯一的实数z，使得=zc. 从而，=xa+yb+zc. 这样，就把向量p表示成了不共面向量a，b，c的线性组合，这种表示方式也是唯一的我们也可以进一步将图形补成一个平行六面体，将z倍的向量c平移至以O为起点，则三个分向量分别对应从同一个
5、顶点O出发的平行六面体的三条棱，向量p对应这个平行六面体从顶点O出发的一条体对角线 追问：空间中的任意向量都可以用向量a，b，c的线性组合表示吗？答案：GGB软件验证任意存在唯一性【形成定理】问题4：你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？答案：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 pxaybzc那么，所有空间向量组成的集合就是 p | pxaybzc，x，y，zR 定义：我们把a，b，c叫做空间的一个基底(base)，a，b，c 都叫做基向量(base vectors)问题5：空间的基底有多少个，需要满足什么
6、条件？ 答案：空间的基底有无穷多个a，b，c是空间的一个基底，当且仅当a，b，c不共面定义：特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k表示由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 axiyjzk定义：像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解【总结提升】问题6：平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？ 答案：向量共线充要条件平面向量基本定理空间向量基本定理向量a ( a 0)与向量 b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使a1e12e2 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得pxaybzc ae1，e2a，b，c一维二维三维
