1、平面几何中的向量方法教学设计（一）引入新课问题1：你能从整体上叙述一下前面我们是如何研究向量的吗？答：前面我们先学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算.追问：我们在解决向量问题时，有哪些常用方法？答：可以考虑任意选取适合的基底来表示相关向量，通过向量运算求解；也可以通过建立坐标系，把向量的运算归为向量坐标的运算，使向量运算完全数量化.（二）课堂探究问题2以前我们是如何研究平面几何的？答：研究平面几何常用的方法是综合法，它依据基本的逻辑原理，从公理、定理、性质等出发，通过演绎推理解决几何问题，综合法所给出的几何论证严谨且优雅.追问：以前的方法在研究平面几
2、何中最大的缺点是什么？答：综合法不同的问题通常缺乏统一的解法步骤，没有一般规律可循，具有较大的思维难度.问题3 能否用向量来解决平面几何问题呢？为什么？答：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.问题4 例1 如图1，DE是ABC的中位线，用向量方法证明：DE/BC，DE=12BC.追问1：我们要证明的结论可以转化为怎样的向量问题？解决这一向量问题的思路是怎样的？图1答：证明DE/BC，DE=12BC可以归结为证明DE=12BC，利用向量的共线来
3、解决. 可以把问题进行转化，选取AB,AC为基底，用AB,AC分别表示DE，BC进行证明. 追问2：如何利用上述思路来完成证明？证明：如图2，因为DE是ABC的中位线，所以AD=12AB，AE=12A.从而DE=AE-AD=12AC-12AB=12（AC-AB） 又BC=AC-AB，所以DE=12BC于是DE/BC，DE=12BC. 追问3：你能利用向量坐标的方法进行证明吗？证明：建立以B为原点，BC为x轴如图3所示的平面直角坐标系.设A（x1，y1）C（x2，0）. 因为DE是ABC的中位线，所以D（x12，y12），E（x1+x22，y12）.所以DE=（x22，0），BC=（x2，0）所
4、以DE=12BC，于是DE/BC，DE=12BC. 追问4：你能梳理一下我们上面解决问题的思路吗？答：在用向量方法解决几何问题时，我们先用向量表示相应的点，线段等几何元素，然后通过向量的运算来研究这些元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.追问5：据此，能归纳出解决此类问题的一般步骤吗？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平画几何问题转化为向量问题，（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题（3）把运算结果“翻译”成几何关系.（三）知识应用问题5 例2 如图4，已知平行四边形
5、ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？追问1：我们如何通过向量来发现和解决这一问题？ 图4答：平行因边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.追问2：如何利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”来表示和发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系？第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：选取AB,AD为基底，设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b图5第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；AC2=
6、（a+b）2= a2+2ab+b2BD2=（a-b）2= a2-2ab+b2上面两式相加，得AC2BD2=2（ a2+b2） 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AC2+BD2=2(AB2+AD2)追问3：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.追问4：如何用向量坐标的方法进行证明？解：建立以A为原点，AB为x轴如图6所示的平面直角坐标系.设B(a,0) D(b,c) 则C（a+b，c）那么 AB=（a,0）， AD=(b,c) ， AC=（a+b，c）， BD=（a-b，-c）可得 AB=a ，AD=b2+c2，AC=（a+b）2+c2
7、， BD=（a-b）2+c2可以发现 AB2+AD2=AB2+ AD2= a2+ b2+ c2 以及 AC2+BD2= AC2+ BD2=2（a2+ b2+ c2）所以 AC2+BD2=2(AB2+AD2)（四）归纳总结（1）用向量运算的方法解决平面几何问题有什么优点？你能总结出用向量运算解决平面几何的框图吗？答：用向量运算的方法可以形成统一的解法步骤，更有效的解决问题.用向量法研究平面几何问题的过程可以简单地表述为：（2）回顾上节课和本节课的内容，你能用思维导图梳理本单元前两小节的研究内容和方法吗？我们在解决平面几何问题时，可以任意选取适合的基底来表示相关向量，用向量运算求解；也可以通过建立坐标系，把向量的运算化为向量坐标的运算.
