1、专题回顾1.5 立体几何 同步练习1、 选择题1下列几何体是台体的是( )A BC D【答案】D【解析】A中几何体四条侧棱的延长线不是相交于一点，所以不是棱台；B中几何体上下底面不平行，所以不是圆台；C中几何体是棱锥，不是棱台；D中几何体侧面的母线延长相交于一点，且上下底面平行，是圆台故选：D2如图所示的是水平放置的三角形直观图，D是ABC中BC边上的一点，且D离C比D离B近，又ADy轴，那么原ABC的AB、AD、AC三条线段中( )A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AD，最短的是AC【答案】C【解析】由题意得到原ABC的平面图为：其
2、中，ADBC，BDDC，ABACAD，ABC的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD故选：C3ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是 ( )A相交 B平行 C异面 D不确定【答案】B【解析】，平面平面，故选B4线段AB的两端在直二面角l的两个面内，并与这两个面都成30角，则异面直线AB与l所成的角是()A30 B45C60 D75【答案】B【解析】设AB=a，在平面内，作AAl于A，则AA，连AB，则ABA=30.在RtAAB中，AB=a，所以AA=a.同理作BBl于B，连AB，则BAB=30，所以BB=a，AB=a，所以AB=a，过
3、B作BCAB.连接AC，则ACBB，连接AC，在RtAAC中，AC=a.由BC平面AAC，所以ABC为直角三角形，且AC=BC，所以ABC=45，为l与AB所成角.选B.5若圆锥的母线长是8，底面周长为6，则其体积是( )A9 B9 C3 D3【答案】C【解析】圆锥的底面周长为6，圆锥的底面半径r=3；双圆锥的母线长l=8，圆锥的高h=所以圆锥的体积V=3，故选：C6把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )AR B2R C3R D4R【答案】D【解析】3个半径为R的铁球总体积V=3R3=4R3由铸成一个底面半径为R的圆柱时总体积不变故V=R2H=4R3解得H=4R故选
4、：D7一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为( )A B C D【答案】D【解析】三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，直观图的面积是=，=，原三角形的面积为=，故选：D8设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有 ()A1条 B2条 C3条 D4条【答案】B【解析】如图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30且BCl时，直线AC，AB都满足条件，故选B9在等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30 B60C90 D120【答案】C【解
5、析】如图，由ABBC1，ABC90知ACM为AC的中点，MCAM，且CMBM，AMBM，CMA为二面角CBMA的平面角AC1，MCMA，MC2MA2AC2，CMA90，故选C10如图所示,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABD【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，又平面平面，平面平面, 平面，所以平面，又平面，所以平面平面。选D。11已知高为3的正三棱柱的每个顶
6、点都在球的表面上，若球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】B【解析】设三棱柱的底面边长为a，则此三棱柱的外接球的半径，又由已知有，所以，联立得：，分别取BC、的中点E、F、G，连接GF、EF、EG，因为，则或其补角为异面直线与所成角，又易得：，在中，由余弦定理得：，又为锐角即异面直线与所成角的余弦值为，故选：B12在正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且侧棱长为1，则点到平面的距离为（ ）A B C D【答案】C【解析】设点到平面的距离为.三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即点到平面的距离为.故选C.二、填空题13已知直线、与平面、，下列命题：若平行内的一条直线，则；若垂直内的两条直
7、线，则；若，且，则；若，且，则；若，且，则；若，则其中正确的命题为_（填写所有正确命题的编号）【答案】【解析】对于，若平行内的一条直线，则不一定成立，如时，错误；对于，若垂直内的两条直线，则不一定成立，如内的这两条直线平行时，错误；对于，若，且，当时，则由平面与平面平行的判定定理，不能得出，错误；对于，若，且，则由平面与平面垂直的判定定理，不能得出，错误；对于，若，且，则由直线与平面平行的性质定理，得出，正确；对于，若，则由平面与平面平行的性质定理，即可判定，正确综上，其中正确的命题序号为故答案为：14以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将ABC折成二面角等于_.时，在折成的图形中
8、，ABC为等边三角形【答案】90【解析】， 即为二面角的平面角，设，则，若为等边三角形，则，故填.15三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长是的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】如图，取AC中点G，连接DG，BG，E，F分别为中心，外接球球心为O，易知OEGF为正方形，求得，故答案为：16如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点下列命题正确的为_. 存在点，使得/平面；对于任意的点，平面平面；存在点，使得平面；对于任意的点，四棱锥的体积均不变【答案】【解析】当为棱上的一中点时，此时也为棱上的一个中点，此时/，满足/平面，故正确；连结，则平面，因为平面，所以平面平面，
9、故正确；平面，不可能存在点，使得平面，故错误；四棱锥的体积等于，设正方体的棱长为1.无论、在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变，三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变.四棱锥的体积为定值，故正确.故答案为.三、解答题17已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为.（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积.【答案】（1）20（2）【解析】（1）四面体的三组对边分别相等， 四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为，则，解得，四面体的体积.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长，外接球的半径为，外接球
10、的表面积为.18如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，D是棱的中点1证明：平面BDC2平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比3画出平面与平面ABC的交线【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）见解析。【解析】1证明：由题设知，平面，又平面，由题设知，即，又，平面BDC2解：设棱锥的体积为，由题意得，又三棱锥的体积，：1，平面分此棱柱所得两部分的体积的比为1：13解：延长、，交于点，连结，直线就是平面与平面的交线19已知正方体，分别为和上的点，且，.（1）求证：；（2）求证：三条直线交于一点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】证明：(1)如图，连结和，在正方体中，又，又在正方体中，,，又，
11、同理可得，又，.（2）由题意可得（或者和不平行），又由(1)知，所以直线和必相交，不妨设，则，又，所以，同理因为，所以，所以、三条直线交于一点20四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，E为AD的中点，二面角为证明：平面PBE；求点P到平面ABCD的距离；求直线BC与平面PAB所成角的正弦值【答案】（1）见证明；（2）（3）【解析】证明：是正三角形，E为AD中点，PE与PB是平面PBE内的两条相交线，平面PBE解：平面PBE，平面PBE，是二面角的平面角，平面PBE，平面ABCD，平面平面ABCD，作，垂足为F，则平面ABCD，点P到面ABC的距离为，E为AD中点，即为正三角形，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则0，0，0，设y，是平面ABP的一个法向量，则，取，得，与平面APB所成的角和BC与平面APB所成的角相等，设BC与平面APB所成角为，直线BC与平面PAB所成角的正弦值为21如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，.（1）求证：；（2）若为等边三角形，平面平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）2【解析】（1）作于，连结.，是公共边， ，又平面，平面，平面，又平面，（另法：证明,取的中点.）（2）平面平面，平面平面，平面又为等边三角形，.又由题意得，是公共边，平行四边形为有一个角为的边长为的菱形，四棱锥的体积
