1、相似三角形的应用举例人教版九年级数学下册人教版九年级数学下册情境引入如图,现在某工程师需要估算这条河的宽度,因为河流太宽，不方便直接测量，你能帮忙设计一个方案吗？分析：先构造相似三角形，再利用对应边成比例，列方程求解交流：构造相似三角形时，要避免跨河测长度，请你尝试构造一下吧？探究(1)在河对岸选定一个目标点P ,(2)在近岸取点 Q 和 S ,使点 P、Q、S三点共线，且直线 PS 与河垂直,则PQ的长就是河的宽度bQSP问题：你能构造出怎样的相似三角形，来计算河宽PQ的长呢？探究依据相似三角形的判定定理，你能得到哪些构造方法呢？PQSb不合理，因为测量EF、OE、OP、OQ时，需要跨河，困
2、难较大方法一：8字型(1)PQSbMN方法二：8字型(2)不合理，因为测量PM的长度时，需要过河，困难较大EFO探究依据相似三角形的判定定理，你能得到哪些构造方法呢？(合理)方法三：8字型(3)PQObBA构造相似三角形的步骤：(1)在直线 b上选取一点O，连接PO并延长至B. (2)过点B作垂线BAb，垂足为A.计算方法：(1) 先测量出QO、OA 、AB的长,(2) 利用对应边成比例，列方程求解即可 探究依据相似三角形的判定定理，你能得到哪些构造方法呢？Pb(合理)方法四：平行线法QSaTR构造相似三角形的步骤：(1)在过点 S作直线 a ，使aPS，计算方法：(1) 先测量出QS 、ST
3、 、QR的长,(2) 利用对应边成比例，列方程求解 (2)在直线a上选择适当的点T , 连接PT 交 直线 b 于点R .求解过程如图，已知QS = 45 m, ST = 90 m, QR = 60 m, 求河的宽度 PQ.解：PQR=PST=90，P=P， PQRPST ， 即 ， ， PQ90=（PQ45）60PQRSTab解得，PQ=90（m）因此，河宽大约为90 m反思PQRSTab利用相似三角形，解决了不能直接测量的物体的宽度或高度问题.PQObBA构造方法：保证包含“河宽”的三角形至少有一条边不需要跨河测量.反思思考：如何测量池塘的宽度PQ呢？PQOEFPQOEF你还有其他方法吗？
4、全等三角形法中位线法“全等三角形法” 与“中位线法” 是“相似三角形法”的特殊情形.利用相似三角形可以解决下面的2个问题总结测高：不易到达顶部，不能直接使用测量工具；测距：不易直接测量的两点间的距离阅读问题体会情境抽象模型构造相似总结归纳回归实际画出图形解决问题一般步骤典型例题例1.如图，左、右并排的两棵树的高分别是AB=8 m和CD=12 m，两树相距BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面的距离是EF=1.6 m她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ABCDEFlABCDEFl典型例题分析：如图1，设眼睛的位置为点
5、F，水平视线FG分别交AB，CD于点H，KAFH是观察点A时的仰角BDEACHKGFl由于树的遮挡，区域是盲区同样地，CFK是观察点C时的仰角，区域是盲区图1如图2，当某人从左向右移动过程中，(1)当走到O点时，点F、A、C三点刚好共线(临界位置)，O(2)在点O的右边时，无法看到点C(3)在点O的左边时，可以看到点C图2最近距离是BO盲区典型例题解：如图，假设观察者从左向右走到点O时，她的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上ABl，CDl，ABCDAFHCFK ，ABCDEFlO最近距离是BOHKGAB=8 m、CD=12 m，BD=5 m，OF=1.6 m解得 FH=8（m）
6、由此可知，当她与左边的树的距离小于8 m时，她看不到右边树的顶端C典型例题数学建模思想：把生活中的实际问题通过建模的思想，转化为数学问题来解决一般步骤：(1)根据题设中的已知量与未知量画出数学示意图，(2)抽象出几何位置关系(3)根据几何图形的知识解决实际问题.ABCDFlOHKG该例题的关键是找到临界位置，满足F、A、C三点共线随堂练习1. 如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2 m，B 时又测得该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_m.A时B时ABCD解：设树的高度是x米，因为4随堂练习2小王同学，测树时发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影
7、长为2.7m，留在墙上部分的影长为1m，同时，小明测得长为1m的竹竿影长为0.9m请计算这棵树的高1分析：利用相似三角形的知识解决.先构造出相似三角形，再列方程求解1m0.9m由于太阳光线是平行线，所以，可以构成右图所示的相似三角形.随堂练习1因此这棵树的高为4米解：过点D作 交AB于点F1m0.9mPQRABCDF随堂练习思考：关于这道题你还有其他构造相似三角形的方法吗？1m0.9mPQR方法一ABCDF1m0.9mPQR方法二ABCDE12.7x1m0.9mPQR方法三ABCDF2.7x-1课堂小结课堂小结测高与测距问题的解决方法：测量河流的宽度的方法构造相似三角形注意事项：保证包含“河宽”的三角形至少有一条边不需要跨河测量.利用相似三角形测量河宽构造相似三角形：(1)8字型相似三角形；（2）平行线法相似三角形PQObBAPQRSTab通过构造相似三角形进行解决，根据不同的实际情况选择合适的方法布置作业布置作业教科书习题敬请各位老师提出宝贵意见！
